Wyznacz granice ciągów Kamil: Witam. Niedługo kolokwium, a mam problem z kilkoma zadaniami. Oblicz granice o wyrazach ogólnych: lim n→∞: a) u_n = ³√n³+4n²−n

	(2n−1)3
b) un =		(w mianowniku jest kwadrat, a nie 2)
	(4n−1)2(1−5n)

W pierwszym wypadku po zastosowaniu wzoru na a² + b² nie mogę sobie dalej poradzić (dojść do poprawnego wyniku). Co do b, to nie potrafię tego przekształcić i liczę wymnażając wszystko, a to nienajlepszy sposób jak sądzę. Z góry dzięki

ewa: a) tu masz ∞−∞ , więc trzeba coś zrobić. Skorzystam ze wzoru (a−b)(a²+ab+b²)=a³−b³ U nas a=³√n³+4n, b=n Rozszerz licznik i mianownik (tutaj równy 1): ³√n³+4n−n=

	(3√n3+4n−n)[(3√n3+4n)2+n*3√n3+4n+n2]
=		=
	(3√n3+4n)2+n*3√n3+4n+n2

	n3+4n2−n3
=		=
	(3√n3+4n)2+n*3√n3+4n+n2

	4n2
=
	n2(3√1+4n2)2+n23√1+4n2+n2*1

wyłącz n² w mianowniku i skróć z n² z licznika

	4
wówczas cała granica wynosi		przy x→∞
	3

ewa:

	(2n−1)2		2n−1
b) =		*		=
	(4n−1)2		−(5n−1)

	2n−1		2−1n
=(		)2 *		=
	4n−1		−5+1n

	2−1n		2−1n		1		2		1
=(		)2*		=(		)2 *(−		)=−
	4−1n		−5+1n		2		5		10

przy x→∞

ewa: Tam w przykładzie a) na początku wszędzie powinno być oczywiście pod pierwiastkiem 4n², a nie 4n (gdzieś zapodziałam n)., ale potem wyliczenia ok są

f: lim_n−>∞ ( ³√n²−4n − n ) =lim_n−>∞ ( n³√1−⁴_n² − n ) = 0

f: myślę o czym innym, a piszę o czym innym − to brednie − w a) granica jest 4/3, jak obliczyła ewa

Kamil: Dzięki wielkie a) Wzór zrozumiałem. Ale nie wiem nadal jak poradzić sobie z logarytmami na końcu. W mianowniku jest: (³√n³+4n²)² + n ³√n³+4ⁿ + n² Weźmy np. pierwszy składnik: (³√n³+4n²)² = (³√n³(1+n⁻1))² = n²*(³√1 + n¹)² (n pod pierwiastkiem jest do potęgi −1.) I nawet gdy dojdę do takiej postaci, to gdy mam podzielić mianownik przez n², to mam problemy. Bo po pierwsze ten pierwiastek jest 3ciego stopnia, a pod drugie jest do kwadratu. Nie wiem jak to zrobić. b) skąd się wzięło −(5n − 1) w mianowniku na początku? Oryginalnie było 5n − 1.