dowód Saizou : Wykaż że liczba w postaci (10ⁿ+2)² jest podzielna przez 9 dla n∊N⁺

Saizou : jakieś pomysły bo ja wiem że 10ⁿ+2 musi być podzielne przez 3 tylko nie wiem co dalej

Basiek: No, więc.... kiedy liczba jest podzielna przez 3? Gdy suma cyfr jest podzielna przez 3. Dla każdego n∊N, 10ⁿ będzie mieć sumę cyfr równą 1. Cała suma 10ⁿ+2 z kolei −> suma cyfr jest zawsze równa 3. Dlatego 10ⁿ+2 podzielne przez 3, zaś spotęgowane do kwadratu... podzielne przez 9

Jack: skoro 10ⁿ+2=3k dla pewnego k, to (10ⁿ+2)²=9k²=9m dla pewnego m (mianowicie m=k²)

Basiek: Tylko trzeba chyba dowieść, że 10ⁿ+2 ma podstać 3k dla każdego n.

Saizou : to tylko taki opis słowny wystarczy? jak tak to świetnie

	3m−5
i mam jeszcze problem z takim zadaniem Wykaż że liczba w postaci		(m3−3m2+2m) jest
	12

całkowita

Eta: zapisz: 10ⁿ+2= 10ⁿ−1+3 [(10ⁿ−1) +3]² = .......... działaj dalej

Krzysiek: zał: (10ⁿ +2)² =9k teza: (10ⁿ⁺¹ +2)² =9s k,s należą do całkowitych dowód indukcyjny dla n=1 L=144 =9* 16 zakładamy że zachodzi dla n i sprawdzamy czy zachodzi dla n+1 (10ⁿ⁺¹ +2)² =10(10ⁿ +2 )² −360 *10ⁿ −396 =korzystając z zał =10*9k −360 *10ⁿ −396 =9(10k−40*10ⁿ −44) =9s

Basiek: Do wyboru, do koloru.

Eta: Ale wysypało

Saizou : Czyli mogę wybierać między rozwiązaniem Ety, Basi i Krzyśka, tak więc indykcji się nie tykam choć miej więcej wiem o co w niej chodzi, opis jest bardzo ciekawy i tak myślę że go połączę z rozwiązaniem Ety

Saizou : Czyli mogę wybierać między rozwiązaniem Ety, Basi i Krzyśka, tak więc indykcji się nie tykam choć miej więcej wiem o co w niej chodzi, opis jest bardzo ciekawy i tak myślę że go połączę z rozwiązaniem Ety

rumpek: Zadanie 1

	3m − 5
"Wykaż, że liczba w postaci		(m3 − 3m2 + 2m) jest całkowita."
	12

*** *** m³ − 3m² + 2m = m(m² − 3m + 2) = m(m − 1)(m − 2) ***

	3 − 1
m1 =		= 1
	2

	3 + 1
m2 =		= 2
	2

*** m(m − 1)(m − 2) = są to 3 kolejne liczby całkowite, w których co najmniej jedna jest parzysta i na pewno jedna jest podzielna przez 3 1^o Jeżeli m jest liczbą parzystą to iloczyn m oraz m − 1 daje 4, mnożymy jeszcze przez 3 (ponieważ któraś z podanych liczb jest na pewno podzielna przez 3) i otrzymujemy iloczyn 12, zatem otrzymamy liczbę całkowitą. 2^o Natomiast jeżeli m jest nieparzyste, to otrzymujemy z iloczynu m − 1 oraz 3m − 5 liczbę parzystą, podzielną przez 4. Z pozostałych liczb na pewno któraś jest podzielna przez 3, także znowu iloczyn jest podzielny przez 12, czyli otrzymamy liczbę całkowitą. k = m(m − 1)(m − 2)(3m − 5)

m(m − 1)(m − 2)(3m − 5)		12k
	=		= k, k∊C
12		12

c.n.u.

Saizou : [(10ⁿ−1)+3]²=(10ⁿ−1)²+6(10ⁿ−1)+9=(10ⁿ)²−2*10ⁿ+1+6(10ⁿ−1)+9=10²ⁿ−2*10ⁿ+6(10ⁿ−1)+10 i co dalej

Eta: (10ⁿ−1)² −6*(10ⁿ−1) +9 teraz tylko wykazać ,że 10ⁿ−1 jest podzielna przez 9 100000000000000..........000000000 −1= 9999999999..........999999

Saizou : Dziękuję wszystkim za pomoc

Eta:

Saizou : a za pomoc jutro wrzucę bardzo ciekawą figurę przestrzenną, tylko muszę ją pomalować