prawdopodobieństwo Pepsi2092: Niech n będzie liczbą naturalna większą od 1. Ze zbioru liczb {1,2,3,...,2n+1} losujemy dwie liczby. oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: a)iloczyn wylosowanych liczb będzie liczbą parzystą; b)suma wylosowanych liczb będzie większa od 2n+1 jeśli ktoś może zrobić ppkt b byłbym wdzięczny, ppkt a nie potrzeba bo już zrobione

ZKS: Jeżeli wylosujesz najpierw 1 to później musisz wylosować 2n + 1 , następna możliwość to wylosowanie 2 i później musimy wylosować 2n + 1 lub 2n itd. Z tego otrzymasz ciąg liczb 1 + 2 + ... + 2n + 2n + 1 (jest to suma ciągu arytmetycznego).

Pepsi2092: Ok, wielkie dzieki

ZKS: Proszę.

Pepsi2092: Ale ten ciąg bedzie miał n wyrazów czy 2n+1 ?

	1+2n+1
bo nie wiem czy ma być tak: Sn=		*n
	2

	1+2n+1
czy Sn=		*(2n+1)
	2

ZKS: Druga opcja.

Mila: ZKS jakie losowanie zakładasz? (Ω)

ZKS:

	2n + 1 2
Ω =		ale głowy nie dam uciąć bo to nie jest mój ulubiony dział.

Pepsi2092: Kurde, bo własnie zrobiłem z drugą i mi nie wychodzi tak jak w odp

	2n+1 2
ja wziąłem, że |Ω|=		=2n2+n

Pepsi2092: Raczej moc omega jest dobrze bo jak liczyłem ppkt a to mi wszystko ładnie wyszło

ZKS:

	2n + 1 2
Ale tutaj jednak chyba nie będzie		tylko (2n + 1)2 (ale też pewności nie mam).

ZKS: A w poleceniu jest ze zwracaniem?

Pepsi2092: Losujemy dwie liczby, wiec kolejnosć chyba nie ma znaczenia, czyli raczej kombinacje ale prawdopodobieństwo to nie jest mój konik

ZKS:

	2n + 1 2
Jeżeli zwracamy to (2n + 1)2 jeżeli bez zwracania to		.

Pepsi2092: Własnie nic nie pisze Polecenie jest takie jakie na górze napisałem, to treść całego zadania

ZKS: A masz odpowiedź?

Pepsi2092:

	n+1
mam P(B)=		, czyli jakby |Ω|=(2n+1)2 to by się zgadzało, ale zrobie jeszcze
	2n+1

ppkt a i zobaczymy czy też się zgadza

Mila: Ciąg ma 2n+1 wyrazów. Co jest w odpowiedzi?

Mila: Ω jest dobrze, par będzie mniej. Wyszło mi jak w odpowiedzi, tylko nie wiem jak Ci to wytłumaczyć. Chwilka. |B|= Zaraz napiszę , mam bałagan na kartce.

ZKS: Czyli ze zwracaniem więc brali pod uwagę że można wylosować dwie takie same liczby.

Pepsi2092: Odp

	3n+1
a) P(A)=
	4n+2

	n+1
b) P(B)=
	2n+1

Pepsi2092: Bo w ppkt a jak wezmę |Ω|=(2n+1)² to się nie zgadza z odp a zbiór zdarzeń sprzyjających mam tak :

	n 2
|A|=		+n(n+1) i już mi głowę zryło troche

ZKS: Za chwilę Ci Mila wszystko pięknie wyjaśni.

Pepsi2092: Oky czekam cierpliwie

Mila: Ma być bez powtórzeń. |B|=(n+1)(2n+1)−(n+1) zrobiłam częściową tabelkę i uogólniłam, odpadają z tego co policzyłes (S_n) pary np. (n+1,n+1)

Mila: ZKS to miło, ale mnie przeceniasz. Nie wiem, czy potrafię wytłumaczyć. Pepsi a punkt a masz dobrze? Bo nie liczyłam.

Mila: Na pewno wytlumaczę, jeśli nie dzisiaj to jutro.

Pepsi2092: Dobrze bo brałem, że iloczyn jest liczba parzystą jeżeli obie liczby sa parzyste lub liczba nieparzysta*parzysta = parzysta

	n 2
|A|=		+n(n+1) i wyszło niby dobrze, czyli tak jak w odp

a w tym b) to chyba czaje czyli mamy ten ciąg i jak sobie bierzemy liczby dodajemy z jednej i drugiej strony i lecimy do środka to niby się nie powtarzają, bo bęzie 1+2n+1, 2+2n itd, ale jak dojdziemy do środka to będzie sytuacja że n+1+n+1 wyjdzie i to trzeba odjąć dlatego bo się powtarzają ?

Mila: Tak właśnie to wygląda. Pomyślę jutro nad lepszym uzasadnieniem. Dobranoc Mimo wszystko cieszę się. Na coś Ci zwróciłam uwagę. Zrób obydwa punkty, gdy losujemy ze zwracaniem. Będzie to inne zadanie i o wiele prostsze.

ZKS: Najbardziej cieszy fakt że ktoś potrafi wszystko dokładnie i elegancko wyjaśnić.

Pepsi2092: Dziękuję bardzo za pomoc bo z tym prawdopodobieństwem to też jest urwanie głowy A te punkty zaraz się postaram zrobić Dobrej nocy

Pepsi2092: ZKS Mistrzu postaram się zrobić to zadanie z założeniem które Mila zasugerowała i możesz mnie jednym przykładem z udowadniania przykatować Ale tylko jeden dzisiaj bo miałem turniej w piłkę i zmęczenie mnie też małe dopada

Pepsi2092: No to tak ppkt a |Ω|=(2n+1)² Liczb parzystych mamy n Liczb nieparzystych mamy n+1 |A|=n²+n(n+1)=n²+n²+n=2n²+n

	|A|
P(A)=		...
	|Ω|

zaraz przemysle b i tez napisze

elpe:

a3−b3		a−b
	≥(		)3 a>b
2		2

Pepsi2092: b) |Ω|=(2n+1)²

	3n2−n−2
|A|=(2n+1)(n+1)+		=...
	2

W tym zdarzenie sprzyjającym A wziałem ten ciąg co ZKS zaproponował + jeszcze te pary których suma jest większa od 2n+1, czyli zaczynając od pary (n+2)+(n+2), bo (n+1)+(n+1) zawiera się jeszcze w tym ciągu wczesniejszym. Więc od pary (n+2)+(n+2) trzeba zsumować te liczby z ciągu którego liczb wyrazów wynosi 2n+1−n−2=n−1 I chyba to będzie tak

	|A|
P(A)=		...
	|Ω|

Pepsi2092: Oky chwila elpe zaraz rozwiązuje

Pepsi2092: Napisze końcową postać do której doszedłem i wg mnie wystarczy ona żeby było wykazane a²(a−b)−b²(b−a)≥0 a Ty mi napisz czy tak masz czy inaczej

Pepsi2092: a dobra wiem czekaj sekunde da się jeszcze to lepiej zrobić

Pepsi2092: Końcowa jednak taka (a²+b²)(a−b)≥0

elpe: juz pisze poczekaj

Pepsi2092: (a²−b²)(a+b)≥0

elpe: * | 2

	(a−b)3
a3−b3≥		*|4
	4

4(a³−a³)≥(a−B)³ 4(a − b)(a² + ab + b²) ≥ (a − b)(a − b)² 4a² + 4ab + 4b² ≥ a² − 2ab + b² \ :3 a² + 2ab + b² ≥ 0 C.N.U

Pepsi2092:

a3−b3		a3−3a2b+3ab2−b3
	≥		|| *8
2		8

4a³−4b³≥a³−3a²b+3ab²−b³ 3a³−3b³≥−3a^b+3ab²||/3 a³−b³≥−a²b+ab² a³+a²b−b³−ab²≥0 a²(a+b)−b²(b+a)≥0 (a²−b²)(a+b)≥0

Pepsi2092: ale tak czy tak jest udowodnione bo a>b i a²−b² bedzie ≥0 i a+b≥0 czyli iloczyn też ≥)

elpe: no to najważniejsze dobra lece do jutra

Pepsi2092: Dobra ja zawijam Mistrzu, bo kurde musze się wyspać dzisiaj Jutro robie wolne także wiesz trzeba odpocząć po turnieju Narciarz

kylo1303: Pepsi Jesli sie nie myla (a o tej porze myle sie czesto) zalozenie jest a>b a to nie jest rownoznacznz z a+b ≥0. Bo obie moga byc ujemne.

Pepsi2092: Wiem, ale jak będą ujemne to wtedy pierwszy nawias bedzie zawsze ujemny i drugi też a −*− daje plus Nie wiem czy taka postać wystarczy ale dobre uzasadnienie i chyba by przeszło :0 ale głow nie dam uciąć

Mila: Do zadania 1 − punkt( b) Ω=(2n+1)*2n dwuelementowe wariacje bez powtórzeń. B−suma wylosowanych liczb będzie większa od 2n+1 |B|= (n+1)*(2n+1)−(n+1)= =(n+1)*[2n+1−1]=2n*(n+1) odejmujemy (n+1) par :{(n+1,n+1),(n+2,n+2),....... (2n+1,2n+1)}

	2n*(n+1)		n+1
P(B)=		=
	(2n+1)*2n		2n+1

?

Pepsi2092: Ok dzięki wielkie Mila a możesz jeszcze mi spr to zadanie https://matematykaszkolna.pl/forum/141750.html?