ciągi tomek dla anetki ;*: 1.Dany jest ciąg an=n3−4n+6. Wiedząc, że a2=0 oblicz pozostałe wyrazy równe 0 2. Liczby 3,9,18 są wyrazami ciągu artmetycznego. Wiedząc, że między wyrazy 9 i 18 znajduje się dokładnie 5 wyrazów oblicz, którym wyrazem jest 9. 3. Sprawdź monotoniczność ciągu an=n+2/n−2 (to ma być pod spodem) 4. Suma 3 liczb ciągu geometrycznego wynosi 63. Wiedząc, że różnica wyrazy trzeciego i drugiego jest cztery razy większa niż drugiego i pierwszego. Wyznacz ten ciąg. 5. (to zadanie na 6) Udowodnij, że jeśli an jest ciągiem geometrycznym, to ciąg BN o wyrazie ogólnym bn= an+1+an jest też ciągiem geometrycznym

Basia: ad1. jeżeli a_n = n³ − 4n + 6 to a₂ = 2³ −4*2 + 6 = 8−8+6 = 6 ≠ 0 coś w tym zadaniu nie gra.

Eta: Rzeczywiście w pierwszym coś nie tak? to ja daje to na 6−kę

Basia: ad.2 a_k = 9 a_k+1 = a_k + r a_k+2 = a_k + 2r a_k+3 = a_k + 3r a_k+4 = a_k + 4r a_k+5 = a_k + 5r a_k+6 = a_k + 6r = 18 9 + 6r = 18 6r = 9 r = ⁹₆ = ³₂ a₁ = 3 a_n = a₁ + (n−1)*r 9 = 3 + (n−1)*³₂ /*2 18 = 6 + 3(n−1) 12 = 3n − 3 3n = 15 n = 5 −−−−−−−−−−−−−−− 9 = a₅

Eta: 5/ b_n = a_n+1 + a_n −−− tak chyba ma być ? a_n = a₁*qⁿ⁻¹ więc b_n = a₁*qⁿ + a₁*qⁿ⁻¹ b_n = a¹ *qⁿ⁻¹(q+1) b₁ = a₁*(q+1) b₂ = a₁*q(q+1) b₃ = a₁*q²( q+1) wykażemy ,ze b₂² = b₁*b₃ a₁²*q²(q+1)² = a₁(q+1)*a₁*q(q+1) a₁²*q²(q+1)² = a²*q²(q+1)² L=P więc b_n jest też geometrycznym c.b.d.o

Basia: ad.3

	n+2
an =		n≠2
	n−2

	n+1+2		n+3
an+1 =		=		n≠1
	n+1−2		n−1

	n+3		n+2
an+1−an =		−		=
	n−1		n−2

(n+3)(n−2) − (n+2)(n−1)
	=
(n−1)(n−2)

n2 −2n + 3n − 6 −(n2 − n + 2n −2)
	=
(n−1)(n−2)

n2 +n −6 − n2 −n +2
	=
(n−1)(n−2)

−4
(n−1)(n−2)

n≠1 i n≠2 ⇒ n≥3 ⇒ n−1 ≥ 2 i n−2≥ 1 ≥ (n−1)(n−2) ≥ 2 > 0

−4
	< 0 ⇒
(n−1)(n−2)

a_n+1an < 0 ⇒ a_n+1 < a_n ciąg jest malejący

Basia: liczysz (4) Eto ?

Eta: Nie chce mi się : .... padam już.......... Dobranoc Basiu

Basia: Eto a skąd wiesz, że Ci się to przy 25789 wyrazie nie popsuje ? Musisz policzyć

bn+1
bn

i wykazać, że to jest stałe niezależnie od wartości n

Eta: A co ma się popsuć? mając trzy kolejne wyrazy ciągu, ....... wyznaczasz q Może się mylę?.......

Eta: Idę już spać Do jutra!

Basia: ad.4 {a_n} ciąg geometryczny a₁ + a₂ +a₃ = 63 a₃ − a₂ = 4(a₂−a₁) a₂ = a₁*q a₃ = a₁*q² a₁ + a₁*q + a₁*q² = 63 a₁*q² − a₁*q = 4(a₁*q − a₁) a₁(1+q+q²) = 63 a₁*q(q−1) = 4a₁(q−1) 1. q−1 = 0 ⇔ q=1 a₁*q*0 = 4a₁*0 0 = 0 a₁(1+1+1) = 63 3a₁ = 63 a₁ = 21 ciąg stały: a₁ = 21 q=1 spełnia warunki zadania 2. q−1≠0 ⇔ q≠ 1 a₁*q(q−1) = 4a₁(q−1) /:(q−1) a₁*q = 4a₁ /:a₁ a₁ ≠ 0 bo gdyby a₁=0 ⇒ a₂ =a₁*q=0 i a₃=a₁*q²= 0 a 0+0+0≠ 63 q = 4 a₁(1 + 4 + 16) = 63 a₁*21 = 63 a₁ = 3 ciąg: a₁=3 q=4 spełnia warunki zadania

Basia: Mylisz się. Oto ciąg 3,6,12,24,48,100,200,400,800,1600,2000,4000, czy on jest geometryczny ? 6 = 3*12 12² = 6*24 ale 48*2 z całą pewnością ≠ 100

Basia: dowód musi być niezależny od n jeżeli dla dowolnego n∈N i n≥2 wykażesz, że b_n² = b_n−1*b_n+1 to udowodnisz, że to jest ciąg geometryczny wykazanie, że b₂² = b₁*b₃ niczego nie dowodzi.

Basia: ad.5 {a_n} ciąg geometryczny a_n = a₁*qⁿ⁻¹ a_n+1 = a₁*qⁿ b_n = a_n+1+a_n = a₁*qⁿ + a₁*qⁿ⁻¹ = a₁*qⁿ⁻¹*(q+1) b_n+1 = a₁*qⁿ(q+1) 1. q+1 = 0 ⇔ q=−1 b_n = a₁*qⁿ⁻¹*0 b_n+1 = a₁*qⁿ*0=0 b_n = 0 dla każdego n ⇒ b_n jest ciągiem geometrycznym (b₁=0 q=−1) 2. q=0 b_n = 0 b_n+1 = 0 b_n = 0 dla każdego n ⇒ b_n jest ciągiem geometrycznym (b₁=0 q=0) 3. a₁=0 b_n = 0 b_n+1=0 b_n = 0 dla każdego n ⇒ b_n jest ciągiem geometrycznym (b₁=0 q dowolne) 4. q≠−1 i q≠0 i a₁≠0 badamy

	bn+1
		=
	bn

	a1*qn(q+1)
		= q
	a1*qn−1q+1)

	bn+1
czyli dla każdego n∈ N		= q
	bn

czyli {b_n} jest ciągiem geometrycznym

Eta: Sory

bn+1
	=
bn

	a1*qn( q+1)
=		=
	a1*qn−1(q+1)

= q czyli dla każdego n€N wniosek ciąq b_n −−−− jest też geometrycznym Dobranoc

Eta: Oczywiście dla q≠ −1 i a₁ ≠0

Eta: Jeszcze q≠0

Basia: A miałaś iść spać ! Teraz mnie też już się oczy zamykają. Dobranoc