Obliczyć podane całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: sok: ∫∫xy² dxdy, D : y = x, y = 2 − x² D

sok: Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei ⌊u⌋ oznacza część całkowitą liczby u f(x, y) = x + y, gdzie D : 0 ≤ y ≤π, 0 ≤x ≤sin y

sok: Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach ∫∫y dxdy, gdzie D : x² + y² ≤ 2

Krzysiek: 1) obszar D: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7By%3Dx+%2C+y%3D2-x%5E2+%7D określ granice całkowania i policz odpowiednią całkę.. 2) granice całkowania masz już podane 3)poszukaj w zeszycie, książkach w internecie jak się zamienia na współrzędne biegunowe Podstawowe zadanie

f: Zapisujemy D jako zbiór normalny wzg. x, D = { (x,y): x₁ < x < x₂ , x < y < −x² + 2 }, x₁,x₂ − przecięcie prostej z parabolą: −x²+2=x x²+x−2=0 x₁ = (−1−√5)/2 x₂ = (−1+√5)/2 zamieniamy na całkę iterowaną: (x zmieniają się od przecięć, a y zmienia się od prostej do paraboli) ∫∫_D xy² dx dy = ∫_x1^x₂ dx ∫_x^−x2+2 xy² dy = ∫_x1^x₂ x ( (−x²+2)³/3 − x³/3 ) dx = −1/3( ∫_x1^x₂ ( x⁵ + 8x − 12x³ + 6x⁵ − x⁷) dx = ... co do drugiego, to nie wiem za bardzo co Ci chodzi, w trzecim: Δ = φ(D), przekształcenie biegunowe Δ = { (r,ρ) , 0≤r≤2 , 0<ρ<2π }, jakobian: r , y = r sinρ ∫∫_D y dxdy = ∫∫_Δ r² sinρ drdρ = ∫₀^2π dρ ∫₀² r² sinρ dr = 8/3 ∫₀^2π sinρ dρ = ...

Krzysiek: 1) f, przecież nawet z tego linku widać(na wolframie), że punkty przecięcia się tych krzywych są inne źle deltę policzyłeś/aś

f: Rzeczywiście x₁ = −2 , x₂ = 1 , mój błąd na swoją obronę mam to, że skupiłem się na przedstawieniu sposobu rozwiązywania

sok: w 1 obszar normalnyjest po x i po y?

sok: a nie tylko po y jets normalny

sok: A nie nei wiem po jakiej x czy y jest normalny?

f: można tak rozłożyć na sumę: dla y od y wierzchołka paraboli do 1 całka po paraboli od dolnej gałęzi do górnej tj. −√2−y do √2−y , a dla y od 1 do (−(−2)²+2 = −2) od dolnej gałęzi do prostej (−√2−y do y)

f: przepraszam, znów błąd − od dołu −2<y<1 , −√2−y< x < y 1<y<2 , −√2−y< x < √2−y ale to starsznie pokomplikuje