być albo nie być stawka zaliczenie przedmiotu POMOCY !!! geber:

	3 − x
wykazać z def. Heine`go ze funkcja f(x)=		, x0 = 1
	1 + x

wykazać z def. Couchy`ego ze funkcja f(x) = sin x jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny f(x) = sinx, x₀ − dowolny ustalamy E(epsilon) >0 istnieje wowczas δ> 0 dowolnego x ∈ |R |x − X₀| < δ należy wykazać, że |sinx − sin x₀| < E(epsilon)

Mickej : szkoda że jeszcze tego sie nienaumiałem

Jacek Karaśkiewicz: 1. (domyślam się, że należy zbadać ciągłość w x₀) x₀ ∈ D_f (dziedzina) Trzeba pokazać, że lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

	3 − x
limx→1		= 1 = f(1), czyli zgadza się.
	1 + x

2. Trzeba pokazać, że dla każdego x0, dla każdego ε > 0, istnieje δ > 0, że dla dowolnego x ∈ Df zachodzi (|x − x0| < δ ⇒ |sinx − sinx0| < ε). Aby to udowodnić, musimy pokazać, że dla ustalonego ε można zawsze znaleźć odpowiednią δ. Zał. |x − x0| < δ. |sinx − sinx0| = |2cosx + x02sinx − x02| = = 2|cosx + x02| * |sinx − x02| ≤ ≤ 2 * |sinx − x02| = 2 * |sin|x − x0|2| ≤ ≤ 2 * ||x − x0|2| = |x − x0| < δ A więc dla dowolnego ε wystarczy wziąć jakąkolwiek δ < ε (a zawsze będzie taka istniała), aby zachodziła implikacja. Dowodzi to ciągłości funkcji sin(x). Przy przekształceniach skorzystałem z trzech faktów: 1) |sinx| = |sin|x|| 2) |sin|x|| ≤ |x| 3) |cosx| ≤ 1

geber: czy moze ktos potwierdzic ze te 2 zadanie jest dobrze

Basia: Jest dobrze tylko Jacek zastosował skrót myślowy. Pokazał, że lim_x→x0sinx = sinx₀ co jest warunkiem koniecznym i wystarczającym do stwierdzenia, że sinx jest ciągła w p−cie x₀. Ponieważ pokazał to dla dowolnego x₀∈R ⇒ sinx jest ciagła dla dowolnego x₀∈R ⇒ jest ciągła w całej swojej dziedzinie R

geber: a jak by mozna bylo tak slownie opisac to co jest tam robione bo zapewne bede musial to wszystko wyjasnic a nie bardzo wiem skad to sie wszystko wzielo

Basia: Jak słownie ? Jacek dowodzi zgodnie z def.Cauchy'ego, że dla każdego ε>0 istnieje δ>0, że spełniony jest warunek (|x−x₀|<δ ⇒ |sinx − sinx₀|<ε) na dole napisał z czego "po drodze" korzystał

geber: np. skad sie wzielo |sinx − sinx0| = |2cosx + x02sinx − x02|

Jacek Karaśkiewicz: Jest to wzór na różnicę sinusów. Wzory na sumy i różnice f. trygonometrycznych znajdują się chociażby tu: http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node98.html

Jacek Karaśkiewicz: Jeżeli chodzi o słowne tłumaczenie dowodzenia ciągłości na bazie def. Cauchy'ego to jest to dosyć trudne, gdyż definicja ta jest pewnym ścisłym zdaniem logicznym, którego prawdziwość dla danej funkcji (i punktu, w którym badamy ciągłość) musimy dowieść. Należy tu po prostu używać przekształceń − w tym wypadku w sposób zaprezentowany przeze mnie kilka postów wyżej.