ciąg myślący: Dla dowolnego ciągu a_n oznaczmy S_n=a₁+a₂+...a_n . Udowodnić że jezeli a_n jest ciągiem

	1−qn
geometrycznym (q≠1) to Sn = a1 *
	1−q

udowodnić dwoma sposobami: 1 manipulując odpowiednią sumą (ten mnie bardziej interesuje) 2 za pomocą indukcji matematycznej Takie jeszcze mam zadanko

Aga1.: Pierwszy sposób. Wiadomo,że a₂=a₁*q, a₃=a_q², ...a_n=a₁*qⁿ⁻¹ Więc S_n=a₁+a_q+a₁q²+a₁q³+...+a₁qⁿ⁻¹ mnożąc to równanie przez q otrzymujemy drugie równanie qS_n=a₁q+a₁q²+...+a₁qⁿ odejmując stronami mamy S_n−qS_n=a₁−a₁qⁿ Dalej już sobie poradzisz.

myślący: a_q?

myślący: no niewiem jak to dokonczyć

myślący:

myślący: pomózcie

myślący: naprawdę nie wiem jak to skoonczyć nie mogę nic wymyslić...

Mila: S_n−qS_n=a₁−a₁qⁿ S_n*(1−q)=a₁*(1−qⁿ) /:(1−q)

	1−qn
Sn= a1*
	1−q

myślący: a ja robiłem jakieś obliczenia nie wiadomo jakie na cale strony zeszytu a tu tyle tylko trzeba było.... dziekuję ci. A za pomocą indukcji matematycznej dla n = k+1 to robię tak:

	1−qn+1
a1+a2+a3+....+an+an+1 = a1 *
	1−q

dowód

	1−qn+1		1−qn
a1*		= a1		+n+1
	1−q		1−q

i też tu mam problem bo niewiem jak to udowodnic a wychodzą mi inne wyniki więc jak by to nie był problem to poproszę o pomoc

myślący: tam na koncu jest ... + a_n+1

Mila:

	1−qn
a1+a2+a3+....+an+an+1= a1*		+an+1=
	1−q

	1−qn
=a1*		+a1*qn=
	1−q

	1−qn		1−qn+qn*(1−q)
=a1*(		+qn)=a1 *		=
	1−q		1−q

	1−qn+qn−qn+1
=a1 *		=
	1−q

	1−qn+1
a1 *
	1−q