funkcje Anka: Pomocy! wykaż,że funkcja f(x)=2x−1 podzielić na x+1 jest rosnaca w przedziale od minus nieskończoności do minus 1

imię lub nick:

	2x−1		2(x+1)−3		−3
f(x)=		=		=		+2 taka funkcj w tym przecdziale jest
	x+1		x+1		x+1

rosnąca jeśli chcesz obliczenia: możesz obliczyć np. f(−3) i f(−2) i porównać która jest większa. jeśli f(−3) > f(−2) to funkcja będzie malejąca...

Jacek Karaśkiewicz: Formalnie mamy tak:

	2x − 1
f(x) =
	x + 1

Dziedziną jest oczywiście R\{−1}. Poza tym funkcja f jest różniczkowalna na przedziale nas interesującym (−∞; −1).

	2 * (x + 1) − (2x − 1) * 1		3
f'(x) =		=
	(x + 1)2		(x + 1)2

f'(x) > 0 zachodzi dla każdego argumentu z dziedziny, więc f jest rosnąca w ogóle na całej swojej dziedzinie, a tym bardziej na przedziale (−∞; −1).

Anka: a skąd wyszło te −3? co trzeba zrobić?skąd jest cały ten drugi ułamek?

Anka: 2 * (x + 1) − (2x − 1) * 1

Anka: jak to wyszlo,dlaczego mnozymy

imię lub nick: "mnie nie pytaj... tu potrzebna jest szybka pomoc hydraulika"

Jacek Karaśkiewicz: Ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji.

	f(x)
Jeżeli mamy funkcję h określoną tak: h(x) =		, oraz różniczkowalną w punkcie
	g(x)

x₀, to wzór na pochodną w tym punkcie wygląda następująco:

	f'(x0) * g(x0) − f(x0) * g'(x0)
h'(x0) =
	(g(x0))2

Anka: a czy mógłbyś bardziej to rozpisać, bo jutro będę miała to na klasówce a u mojej nauczycielki trzeba wszystko bardzo dokładnie rozpisać.

b.: >> f'(x) > 0 zachodzi dla każdego argumentu z dziedziny, więc f jest rosnąca w ogóle na całej swojej dziedzinie << jest to prawda, gdy dziedzina jest odcinkiem (półprostą, prostą), ALE NA OGÓŁ nie. Np. nasza funkcja f nie jest rosnąca na całej dziedzinie, bo np. f(−2) = 5 > 1 = f(2) Ale na (−∞; −1) jest rosnąca, co można zrobić licząc pochodną jak Jacek, albo (łatwiej) przekształcając jak ,,imię lub nick'' −− w tej przekształconej postaci widać, że f rośnie (choć aby to dokładne uzasadnić oczywiście nie wystarczy obliczyć 2 wartości...)

b.: ,,a skąd wyszło te −3? co trzeba zrobić?skąd jest cały ten drugi ułamek? '' no zastanów się, skąd −− to nietrudne...

Jacek Karaśkiewicz: b masz rację. Nieprecyzyjnie się wyraziłem, przepraszam. Oczywiście monotoniczność na podstawie pochodnej określa się na przedziałach.

Anka: Panowie przepraszam. znam te regułki z funkcji, ale w dalszym ciągu nie wiem jak to wyszło, ponieważ na lekcjach nie mieliśmy w ogóle takiego czegoś(mieliśmy tylko x1, x2 należą do rzeczywistych i w ogóle nie wiem jak to wyszło niestety..... matematyka nigdy nie była moją mocną stroną

Bogdan: Dobry wieczór. Przepraszam, że się wtrącę. Jacku, pewnie to wiesz, że w szkole średniej nie ma obecnie w programie nauczania rachunku różniczkowego i wszelkie związane z tym pojęcia są uczniom obce. Monotoniczność funkcji bada się przez analizę znaku różnicy f(x₂) − f(x₁) przy założeniu x₂ − x₁ > 0 oraz, jak w tym zadaniu x₁ < −1 i x₂ < −1. Korzysta się bezpośrednio z definicji funkcji rosnącej lub z definicji funkcji malejącej.

Anka: jak wyszły te liczby po wymnożeniu? nie wiem skąd one się biorą? jak przed nawias? przepraszam, że sprawiam tyle kłopotów

imię lub nick: anka

	−3		2x−1
		+ 2 po sprowadzeniu do wspólnego mianownika daje		aby doprowadzić
	x+1		x+1

do pożądanej postaci musisz "wydobyć" z licznika mianownik i dopisać ile Ci tam brakuje.

imię lub nick: 2x − 1 = 2(x+1) − 3

Anka: ale ja nie wiem jak wyszlo te wczesniejsze obliczenie poprostu robie to na milion sposobow i nie wiem skad to sie Tobie wzielo i Panu Jackowi

Anka: czy mógłbys któryś z Panów napisać tak po kolei, krok po kroku wszystko to może załapię w końcu o co chodzi... będę bardzo wdzięczna....

Bogdan: To jedziemy

imię lub nick: no to jeszcze raz:

2x−1		2(x+1)−3		2(x+1)		−3		−3
	=		=		+		=		+2
x+1		x+1		x+1		x+1		x+1

a teraz?

Anka: 2(x+1)−3 ten licznik to nie do końca wiem skąd się wziął

imię lub nick: no to spróbuj z drugiej strony:

	−3
dodaj		+2 (trzeba sprowadzić do wspólnego mianownika inaczej mówiąc pomnożyć
	x+1

	x+1
2*		co normalnie po skróceniu dałoby 1)
	x+1

imię lub nick: mam nadzieje że nie namieszałem tym co w nawiasie napisałem

Anka: aha...rozumiem,ze trzeba do wspólnego mianownika, ale jak na początku wyszło 2(x+1)−3

Anka: Panie Bogdanie, a Pan by mógł spróbować

Bogdan: Podam pełne rozwiązanie abyś na jego podstawie mogła rozwiązywać podobne zadania.

	2x − 1
f(x) =
	x + 1

Założenia: x₂ − x₁ > 0 i x₂ < −1 i x₁ < −1. Badamy znak różnicy: f(x₂) − f(x₁)

	2x2 − 1
f(x2) =		,
	x2 + 1

	2x1 − 1
f(x1) =
	x1 + 1

	2x2 − 1		2x1 − 1
f(x2) − f(x1) =		−		=
	x2 + 1		x1 + 1

	(2x2 − 1)(x1 + 1) − (2x1 − 1)(x2 + 1)
=		=
	(x2 + 1)(x1 + 1)

	2x1x2 + 2x2 − x1 − 1 − 2x1x2 − 2x1 + x2 + 1
=		=
	(x2 + 1)(x1 + 1)

3x2 − 3x1		3(x2 − x1)
	=		> 0
(x2 + 1)(x1 + 1)		(x2 + 1)(x1 + 1)

ponieważ z założenia x₂ − x₁ > 0 i (x₂ + 1)(x₁ + 1) > 0, więc funkcja f(x) jest rosnąca. Dodam, że gdyby f(x₂) − f(x₁) < 0 dla x € A, to funkcja w przedziale A byłaby malejąca.

imię lub nick: 2(x+1)−3 = 2x+2−3 = 2x−1

Anka: bardzo, bardzo dziękuję za rozwiązania jestem ogromnie wdzięczna. Przepraszam za kłopot.

Anka: Panie Bogdanie teraz już wszystko zrozumiałam

Jacek Karaśkiewicz: Co do uwagi p.Bogdana odnośnie nieobecności rach. różniczkowego w liceum, to dopiero teraz zauważyłem, że ten materiał oznakowany jest jako 'na studia' (ku mojemu przerażeniu). Moje błędne założenie co do programu wzięło się z tego, że kończyłem liceum rok temu i jeszcze pochodne i pojęcia z pochodnymi związane omawialiśmy (również badaliśmy monotoniczność za pomocą pochodnych). PS. Swoją drogą, strasznie szybko kurczy się ten materiał omawiany w liceum...

Bogdan: Jacku, podzielam Twój pogląd i też nie podoba mi się tak okrojona matematyka w szkole średniej.

imię lub nick: Najgorsze jest to, że na studiach zakładają z góry, że ten materiał był przerabiany w liceum. Czeka mnie tzw. hardcore.