proszę o pomoc maturzysta: Udowodnij nierówność: (ab+bc+ac)² ≥ 3abc(a+b+c).

maturzysta: a3 + b3 + c3 = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) + 3abc Znalazłem coś takiego, może komuś coś to pomoże.

maturzysta:

	a3+b3+c3		a+b+c
ten drugi post to do tego:Udowodnij nierówność:		≥
	a2+b2+c2		3

Vax: W obu wystarczy wszystko wymnożyć, w pierwszym dostajesz x²y²+x²z²+y²z² ≥

	1
x2yz+xy2z+xyz2, co jest prawdziwe, ponieważ		((a−b)2+(a−c)2+(b−c)2) ≥ 0 ⇔
	2

a²+b²+c² ≥ ab+ac+bc a tu wystarczy podstawić a = xy , b = xz , c = yz. W 2 brakuje założenia, że a,b,c > 0 (nie działa np dla a=−2 , b=2 , c=1). Wymnażając wszystko dostajemy 2x³+2y³+2z³ ≥ xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) co jest prawdziwe, ponieważ x³+y³ ≥ xy(x+y) ⇔ (x+y)(x−y)² ≥ 0

pigor: ... czyli tak : podnosząc do kwadratu , wymnażając, przenoszą wszystko na lewa stronę, co się da zredukować i pokombinowąć ... : (ab+bc+ac)² ≥ 3abc(a+b+c) ⇔ a²b²+b²c²+a²c²+2ab²c+2a²bc+2abc²−3a²bc−3ab²c−3abc² ≥ 0 ⇔ ⇔ a²b²+b²c²+a²c²−ab²c−a²bc−abc² ≥ 0 / *2 ⇔ ⇔ 2a²b²+2b²c²+2a²c²−2ab²c−2²bc−2abc² ≥ 0 ⇔ ⇔ a²b²−2a²bc+a²c² + b²a²−2b²ac+b²c² + c²a²−2c²ab+c²b² ≥ 0 ⇔ c[a²(b−c)² + b²(a−c)² + c²(a−b)² ≥ 0]] , co już jest oczywiste , a więc c.b.d.u. ...