miasta a i b George: Z dwóch miast A i B, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta B. Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta szedł do miasta B jeszcze 1,5 godziny, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziny do miasta A.

Eta: Poszukaj w postach ! ( to zad. z próbnej matury 2012

Gustlik: Pomogę, bo to trudne zadanie, u mnie mieli z nim problem nawet uczniowie z profili z rozszerzoną matmą. Mnie też to zadanie na podstawach zaskoczyło, rozwiązuję arkusze z matur rozszerzonych i szczerze mówiąc, nawet tam są łatwiejsze zadania. Oznaczmy: S − punkt spotkania obu turystów t_A − czas przejścia pierwszego turysty z miasta A do punktu S t_B − czas przejścia drugiego turysty z miasta B do punktu S v_A − prędkość turysty idącego z miasta A (dalej będę go nazywał turystą A) v_B − prędkość turysty idącego z miasta B (dalej będę go nazywał turystą B) W zadaniu trzeba założyć, że prędkość obu turystów na całe trasie była stała, a więc taka sama była ona zarówno na całej trasie, jak i na odcinkach AS i SB.

	s
Korzystam ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym v=		.
	t

Prędkość turysty A: − na odcinku AS

	x
vA=
	tA

− na całej trasie

	18
vA=
	tA+1,5

Prędkość turysty B: − na odcinku AS

	x
vB=
	4

− na całej trasie

	18
vB=
	tB+4

ale t_B=t_A−1, bo z treści zadania wynika, że turysta B wyszedł o godzinę później niż turysta A, zatem do punktu S szedł o godzinę krócej. Czyli:

	18		18
vB=		=
	tA−1+4		tA+3

Ponieważ prędkości obu panów na odcinku AS i na całej trasie są równe, więc:

	x		18
{		=
	tA		tA+1,5

	x		18
{		=		→ teraz trzeba rozwiązać ten układ − mnożę na krzyż oba równania.
	4		tA+3

{ x(t_A+1,5)=18t_A { x(t_A+3)=72 { xt_A+1,5x=18t_A /*2 { xt_A+3x=72 /*(−2) (*) { 2xt_A+3x=36t_A {−2xt_A−6x=−144 + (dodaję stronami, aby pozbyć się wyrażenia xt_A) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −3x=36t_A−144 /:(−3) x=−12t_A+48 − podstawiam to do (*) (−12t_A+48)t_A+3(−12t_A+48)=72 −12t_A²+48t_A−36t_A+144−72=0 −12t_A²+12t_A+72=0 /:(−12) t_A²−t_A−6=0 Δ=(−1)²−4*1*(−6)=1+24=25, √Δ=5

	1−5
tA1=		=−2 nswz, bo czas nie może być ujemny,
	2

	1+5
tA2=		=3 h
	2

czyli czas t_B=3−1=2 h Mając czasy liczę prędkości obu turystów:

	18		18
vA=		=		=4 km/h
	3+1,5		4,5

	18		18
vB=		=		=3 km/h
	2+4		6

Eta: v_A, t >0 v_B, t−1 >0

	vB		t
na odcinku AS: vA*t = VB*4 ⇒		=
	vA		4

	vB		1,5
na odcinku BS : vA*1,5= vB*(t−1) ⇒		=
	vA		t−1

	t		1,5
porównując otrzymujemy:		=		⇒ t2−t−6=0 ⇒(t−3)(t+2)=0 ⇒t=3
	4		t−1

	18
Na całej trasie vA=		= 4km/h
	3+1,5

	18
vB=		= 3km/h
	2+4

Eta: @Gustlik no to sobie "pojechałeś"

Gustlik: Też fajny sposób. Niemniej jak na podstawy zadanie mocno zagmatwane. W poprzednich maturach były prostsze.

Jack: Eta sprowadziła dwa równania do jednego i po sprawie...

Gustlik: Ja wiem, co zrobiła Eta − po prostu porównała drogi przebyte przez obu panów na poszczególnych odcinkach, a potem porównała stosunek v_B/v_A. Tylko w tym zadaniu naprawdę ciężko wpaść na jakikolwiek sposób, a tym bardziej znaleźć od razu najkrótszy. Uczeń widząc takie zadanie nie wie, od czego zacząć, bo nie ma podanej zależności np. między prędkościami obu turystów, co znacznie utrudnia rozwiązanie. U mnie nawet uczniowie z mat−fizu mieli z tym problemy. Zadanie byłoby o wiele łatwiejsze, gdyby była dodatkowo podana informacja np. że turysta A szedł z prędkością o 1 km/h większą niż turysta B, bo wtedy łatwo już ułożyć układ równań i takie zadania pojawiały się wcześniej w arkuszach maturalnych na poziomie podstawowym sprawiały uczniom mniej problemów.

George: a skad wiadomo ze turaysta A szedł odcinak AS 3 h?

George: juz wiem, zanalizowalem cale zad i juz wiadomo