zadania maturalne Eta: Zadania dla chętnych zad.1 Dany jest ciąg a_n , gdzie: a₁=1 , a_n+1=2a_n+1 Oblicz a₂₀₁₂ zad.2 Wykazać,że jeżeli a,b,c są liczbami dodatnimi i różnymi od jeden i dla x >0 log_ax, log_bx, log_cx tworzą ciąg arytmetyczny to zachodzi równość : c²= (ac)^log_ab

	4
zad. 3 Dane są funkcje f(x)=		x+1 i g(x)= −√2 *x+9
	3

Wykaż,że cosinus kąta przecięcia się wykresów tych funkcji jest równy:

	4√6−3√3
	15

Godzio: Spróbuję (nieco inaczej niż maturzyści )

Buuu: Czyżby 4023 w pierwszym zadaniu?

Ajtek: Mi również wychodzi 4023.

Godzio: Zad. 1 a_{n + 1} = 2a_n + 1 a_n = 2a_{n − 1} + 1 a_{n + 1} − a_n = 2a_n − 2a_{n − 1} a_{n + 1} − 3a_n + 2a_{n − 1} = 0 Równanie charakterystyczne: x² − 3x + 2 = 0 ⇒ (x − 1)(x − 2) = 0 ⇒ x = 1 lub x = 2 Równanie ogólne: a_n = A + 2ⁿ * B a₁ = A + 2B = 1 a₂ = A + 4B = 3 2B = 2 ⇒ B = 1 ⇒ A = − 1 Równanie szczególne: a_n = 2ⁿ − 1, a₂₀₁₂ = 2²⁰¹² − 1 (to raczej nie jest 4023 )

Buuu: Godzio, ale ja guuuupi jezdem za bardzo sobie uprościłem.

Jack: 1. Wyniku można się było domyślić po kilku wyrazach, a więc można było również dowieść wzoru za pomocą indukcji

Godzio: Zad. 3 (jeszcze tylko to mogę nieco innym sposobem zrobić)

	4
f(x) =		x + 1, g(x) = −√2x + 9
	3

	4
f'(x) =		, g'(x) = − √2
	3

	4   + √2 3		4 + 3√2
tgα = |		| = |		| =
	4√2   1 −   3		3 − 4√2

	12 + 16√2 + 9√2 + 24		36 + 25√2		36 + 25√2
= |		| = |		| =
	9 − 32		−23		23

	36 + 25√2
sinα =		cosα
	23

	36 + 25√2
((		)2 + 1)cos2α = 1
	23

	232		232
cos2α =		=
	(36 + 25√2)2 + 232		3 * 52 * (3 + 4√2)2

	23
cosα = U{23}{5√3(3 + 4√2) =
	15√3 + 20√6

	4√6 − 3√3
cosα =
	15

ufff Jack wiadomo, ale warto jakoś ciekawiej zrobić

Ajtek: Drugie zrobiłem, tylko nie wiem czy to jest dowód. Zaraz wrzucę.

Alkain: zad.2. spróbujmy log_ax,log_bx,log_cx

	logax+logcx
logbx=
	2

2log_bx=log_ax+log_cx c²=(ac)^log_ab

	logbx		logbx
2logbx=		+
	logba		logbc

	(logbx)(logbc)+(logbx)(logba)
2logbx=		|/logbx
	(logbc)(logba)

	logbac
2=
	(logbc)(logba)

2(log_bc)(log_ba)=log_bac |/ log _ba

	logbac
logbc2=
	logba

	logbac
logbc2=
	logaa   logab

log_bc²=(log_bac)(log_ab) log_bc²=log_bac^log_ab Opuszamy logarytm i mamy c²=(ac)^log_ab

Alkain: Dobrze ?

Eta:

Ajtek: Z wł. c. arytm: 2log_bx=log_a−x+log_xc

2		1		1
	=		+
logxb		logxa		logxc

2		logx(a*c)
	=
logxb		logxa*logxc

2log_xa*log_xc=log_x(a*c)*log_xb /:log_xa

	logx(a*c)*logxb
logxc2=
	logxa

	logab		logaa
logxc2=logx(a*c)*		:
	logax		logax

	logab		logax
logxc2=logx(a*c)*		*
	logax		1

log_xc²=logx(ac)^log_ab c²=(ac)^log_ab Takie coś mi wyszło.

Godzio: Dobrze

Ajtek: W pierwszym już widzę literówkę: 2log_bx=log_ax+log_cx tak powinno być .

Ajtek: Uff, coś tam jeszcze pamiętam z tej matematyki .

Eta: zad.4 Wykaż,że pole czworokąta o bokach a,b,c,d ,na którym można opisać okrąg i w który można wpisać okrąg , wyraża się wzorem: P= √abcd

Ajtek: Wziąbym się za nie, bo na bardzo trudne nie wygląda, ale wyjść muszę na pewne matematyczne spotkanie. W sumie to jestem z siebie dumny, rozwiązałem proste zadanie od Ety .

rumpek: zad.4 Wzór Brahmagupty i zadanie "pyknięte"

Eta:

Eta: zad.5 rozwiąż układy równań: a) { x^logy=9 { xy=300 b) { √x+√y=4 { √x²+y²+√2xy= 8√2

Eta: zad.6 Wyznacz współrzędne środka ciężkości trójkąta ABC o wierzchołkach A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) , C( x_C,y_B) W zadaniu chodzi o wyprowadzenie wzoru !

Eta: zad.7 Rozwiąż równanie: a) sin²⁰¹²x+cos²⁰¹²x=1

	sin23x		cos23x
b)		=		+4
	cos2x		cos2x

Eta: poprawiam chochlika

	sin23x		cos23x
b)		=		+4
	sin2x		cos2x

Eta: No jeszcze takie (łatwiutkie) z liczbą 2012 zad.8 Ile liczb pierwszych spełnia nierówność (x−2²⁰¹²)² − (x+2²⁰¹²)²< 2²⁰¹⁷

Godzio: No właśnie to sin²⁰¹²x + cos²⁰¹²x = 1 Zawsze mnie nurtowało

Eta:

Trivial: Zadanie 1 a_n+1 = 2a_n + 1 a_n+1 = 1 + 2a_n = 1 + 2(1+2a_n−1) = 1 + 2 + 4a_n−1 = 1 + 2 + 4 + 8a_n−2 = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^k + 2^k+1a_n−k Chcemy aby n−k=1, czyli k = n−1. a_n+1 = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2ⁿ⁻¹ + 2ⁿ*a₁ = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2ⁿ⁻¹ + 2ⁿ

	1−2n+1
=
	1−2

= 2ⁿ⁺¹−1 a_n = 2ⁿ−1

Eta:

Ajtek: Eta czy wynik do łatwiutkiego zadanka z liczbą 2012 to 18?

Eta: Sorry powinno być (x+2²⁰¹²)²−(x−2²⁰¹²)²< 2²⁰¹⁷

Ajtek: Hmmm to powiedz czy moje kombinowanie idzie w dobrą stronę: mam skorzystać ze wzorków skr. mnożenia na dzień dobry?

Eta: Dokładnie tak

Baś:

	1
Mnie wyszło		, ale pewnie źle.
	4

Eta: Czy o zad.8 chodzi?

Ajtek: no to do rozwalenia jest, pożniej podstawienie będzie za 2²⁰¹²=t?

Eta: Jakie postawienie? i po co?

Baś: Tak jest

Ajtek: no to cholera nie mam pomysłu co dalej , albo to jest za proste

Ajtek: w poprzednim rozwiązaniu zjadłem x, kwaśny jakiś

ICSP: 6 liczb pierwszych ?

ICSP: tzn 4

ZKS: (x + 2²⁰¹²)² − (x − 2²⁰¹²)² < 2²⁰¹⁷ 2x * 2²⁰¹³ < 2²⁰¹⁷ / : 2 x * 2²⁰¹³ < 2²⁰¹⁶ x < 2³ ⇒ x ∊ (2 ; 3 ; 5 ; 7)

Eta: odp: x={2,3,5,7}

ICSP: tez mi tak wyszło

Eta: (czyt. pisanka) dla ZKS

Ajtek: szukam błędu rach. bo mi wyszło 2²

Baś: Tam było 2017, a nie 12? ....

ICSP: No to łapcie ode mnie Liczba 136 ma taką własność że jeżeli podniesiemy jej cyfry do szescianu oraz je zsumujemy otrzymamy pewną inną liczbę. Jeżeli podniesiemy cyfry otrzymanej liczby do sześcianów i je dodamy otrzymamy liczbę 136 : 1³ + 3³ + 6³ = 1 + 27 + 216 = 28 + 216 = 244 2³ + 4³ +4³ = 8 + 64 + 64 = 128 + 8 = 136 zadanie : Znajdź dwie inne liczby które mają taką własność

Baś: Jeszcze na dziś zadanko z analitycznej na miłe zakończenia dnia z matematyką i już tego czegoś nie tknę nawet patykiem.

ZKS: ICSP i dziękuję za pisankę Eta dla Ciebie też pisanka .

Eta: @ICSP najpierw dawaj rozwiązanie równanie trygonometryczne z magiczną 2012

pigor: ... no to zad. 3: np. tak : f: 4x−3y=−3 i g: √2x+y=9 , to u_f=[4,−3] i u_g=[√2,1} i |u_f|=5 i |u_g|=√3 to z iloczynu skalarnego u_f*u_g= |u_f||u_g|cosα , gdzie α − miara kąta między tymi wektorami, a zarazem prostymi f i g :

	[4,−3]*[√2,1]		4√2−3		4√6−3P{3}
cosα=		=		=		. ...
	5*√3		5√3		15

Ajtek: Błą już znalazłem, podzielam opinię poprzedników, są 4 takie liczby

ZKS: To i ja dam od siebie. Niech x = 10^{1/_{(1 − log z)}} i y = 10^{1/_{(1 − log x)}}. Wykaż że z = 10^{1/_{(1 − log y)}}.

Godzio: Nie ma to tamto, sami maturzyści zadania rozwiązują

Ajtek: Jak sie nie potrafi mnożyć przez 2, to i głupoty mi wychodzą

Ajtek: No to ja odpadam

Eta: @pigor te zadania są tylko dla maturzystów !

ICSP: No to moze coś głupiego ode mnie sin²⁰¹²x + cos²⁰¹²x = 1 można to łatwo przekształcić do : sin²x(sin²⁰¹⁰x − 1) + cos²x(cos²⁰¹⁰x − 1) = 0 a to będzie równe zero gdy : sin²x(sin²⁰¹⁰x − 1) = 0 oraz cos²x(cos²⁰¹⁰x − 1) = 0 dużo głupot powypisywałem?

ICSP: tylko dla maturzystów ? ups....

Eta: ok ale masz podać rozwiązania

ICSP:

	π
=		k ; k ∊ C
	2

tylko jak udowodnić że nie zachodzi dla innych liczb?

Ajtek: ICSP na mnie się nie patrz, ja nie udowodnie

ICSP: Ja też nie Z trudem to wymyśliłem

Ajtek:

Grzesiu: miałobyć równe 1

Grzesiu: ICSP tam miałobyć równe 1 xd

Grzesiu: a dobra sory widze co miałeś na myśli xd

ICSP: i jest

pigor: ... no , dobrze , już się zmywam, ale widząc pochodne , czy to maturzysta z taką... armatą jaką jest pochodna do krzywej ... , czyli tu prostej ... jak drut

Godzio:

	1
logx = log101/(1 − logz) =
	1 − logz

	1		1 − logz − 1		logz
1 −		=		=		= t
	1 − logz		1 − logz		logz − 1

	1		logz − 1
y = 101/t ⇒ logy =		⇒ logy =
	t		logz

1		1		1
	=		=		=
1 − logy		logz − 1   1 −   logz		logz − logz + 1   logz

= logz 10^logz = z Co kończy dowód pigor chciałem nieco inaczej niż schemat karze − czyli nie najprościej

Godzio: ICSP, a dlaczego nie może być:

	1		1
sin2x(sin2010x − 1) =		, a cos2x(cos2010x − 1) = −		?
	2		2

ICSP: właśnie dlatego sądzę ze to co napisałem to są głupoty

kacper: Zagorzali matematycy z Was

Grzesiu: kurde przez was znowu spać nie pujde

Ajtek: pójdę, dbajmy o piękno mowy polskiej

Grzesiu: a wytłumacz ICSP czemu 2x *2²⁰¹³ = (x=2²⁰¹²)² − (x−2²⁰¹²)²

Godzio: Rzeczywiście, na ćwiczenie ortografii nigdy za późno

Grzesiu: wybacz ja o tej godzienie już nie myslę xd

kacper: Mm maturę za 30 dni

Grzesiu: a wytłumacz ICSP czemu 2x *2²⁰¹³ = (x+2²⁰¹²)² − (x−2²⁰¹²)² znaczy się

Grzesiu: Ze wzoru a² − b² = (a−b)(a+b)

ZKS:

	π		2
Eta 7. b) x =		+		π ?
	6		6

Grzesiu: dobra już wiem xd sam doszedłem

Ajtek: osz cholera, walcze z tym 7b) i teraz zobaczyłem że wsiąkło mi +4 na końcu

Grzesiu: te 7b wydaje się dosc proste gorzejz pkt a

Ajtek: chyba pójdę spać

Ajtek: Dlatego od 7.b zacząłem

ZKS: A ja nie wiem czy dobrze zrobiłem.

Grzesiu: ja to 7 pkt b zapisałem tak sin²3x − cos²3x/cos²x = 4 i dalej na wzorach trza przszktałcać ale nie mam sił by tego szukać wole pkt a zrobić bo masaakra z tym

Eta:

	π
odp: 7 b) x= ±		+k*π , k∊C
	6

Eta:

	π
odp: 7 a) x=		+k*π v x= k*2π , k∊C
	2

Grzesiu: a jak przekształciłaś 7a?

Eta: sin²x(1−sin²⁰¹⁰x)+cos²x(1−cos{2010x)=0 sin²x≥0, cos²x≥0 i 1−sin²⁰¹⁰x ≥0 i 1−cos²⁰¹⁰x ≥0 dokończcie ............

ZKS: Ok wyszło sin(2x) = 0 ∨ sin(4x) = sin(2x).

Grzesiu: napisz też dokończenie xd

Eta:

ZKS: 5. b) x = y = 4 ?

Grzesiu: Eta jakbyś mogła wytłumacz bo ja chce rozszerzenie zdać bez chodzenie na lekcje z rozszerzenia

Eta: 5 b) ok ZKS

Ajtek: Bardzo miło się z Wami pisze/czyta, ale ja lecę spać. Wszystkim życzę zdrowych, spokojnych, wesołych świąt w gronie najbliższych Wam osób . Maturzystom oczywiście osiągnięcia celów (min/max) na każdym zdawanym przedmiocie

Godzio: (sin(3x)cosx)² − (cos(3x)sinx)² = 4sin²cos²x (sin(3x)cosx − cos(3x)sinx)(sin(3x)cosx + cos(3x)sinx) = (2sinxcosx)² sin(3x − x) * sin(3x + x) = sin²2x sin2x * sin4x − sin²2x = 0 sin2x(sin4x − sin2x) = 0 sin2x = 0 lub sin4x = sin2x Dalej wiadomo

ZKS: Dla mnie chyba na dzisiaj wystarczy chyba że zrobię 5. a) na dobranoc.

Godzio: Lada dzień mam kolokwium, a bawię się w zadanie Ety ...

Eta: Co .......... "bawię się w zadania Ety" ?

Godzio:

ZKS: 5. a) (x = 3 ∧ y = 100) ∨ (x = 100 ∨ y = 3)?

rumpek: ZKS mam tak samo

rumpek: w ogóle to Wesołych Świąt

Eta: <pisanka> <kraszanka> <jajko wielkanocne> Wesołych Świąt , mokrego DYNGUSA ! Dobranoc Wszystkim

rumpek: Odnośnie tego 5 a) to wystarczy zlogarytmować obustronnie

ZKS: Ja też się zbieram bo padam. Dobranoc wszystkim i Wesołych Świąt życzę. Nie oszczędzajcie nikogo w poniedziałek.

Godzio: Wesołych Świąt i dobranoc