Jaka jest ostatnia różna od zera cyfra liczby 2009! ? marcin: Jaka jest ostatnia różna od zera cyfra liczby 2009! ?

Bogdan: 9

Zosia: dlaczego? mi się wydaje, że 8

b.: Na pewno parzysta, bo 2009! dzieli się przez 2 w potędze wyższej niż przez 5.

Bogdan: To zależy, jak kto widzi, ale z ciekawości spytam, gdzie Zosiu w liczbie 2009 widzisz 8?

marcin: Bogdan: jedyne możliwości to 2,4, 6 albo 8, ale problem w tym, że nie mogę znaleźć żadnego cyklu, żadnej prawidłowości

tim: Bogdan, to było 2009!

marcin: wiem, tzn. sądzę, że każda piątka (a w całej silni jest ich 500) przesuwa domniemany "cykl"

Bogdan: Dziękuję za zwrócenie uwagi, że mamy tu do czynienia z silnią. Wziąłem wykrzyknik przy liczbie 2009 za wołanie o pomoc. Ciekawy wyłonił się problem. Jak wyznaczyć ostatnią niezerową cyfrę n! (silni). Są gotowe programy, które radzą sobie z tym problemem. Chodzi jednak o to, aby rozstrygnąć sprawę analitycznie. Pomyślimy nad tym.

Mickej : ładnie mnie zabił zadaniem

Jacek Karaśkiewicz: Ogólnie rzecz biorąc sprawa nie jest taka prosta. O zgrabnym analitycznym rozwiązaniu (czyt. jakimś zwartym wzorze) można raczej zapomnieć, ale ostatnią różną od zera cyfrę znaleźć się oczywiście da. Udało mi się znaleźć ciekawy artykuł na ten temat, który napisany jest bardzo przystępnie, jednak dla licealisty może być trochę zbyt skomplikowany. Niemniej jednak zachęcam do lektury: http://www.mathpages.com/home/kmath489.htm Nie będę przytaczał tutaj treści artykułu w całości oraz algorytmu jaki się stosuje, jednak proces szukania ostatniej niezerowej cyfry wymaga sprowadzenia danej liczby (tej, która siedzi pod silnią) do systemu o podstawie 5 (piątkowego), a następnie odszukania odpowiednich liczb w tabelach zawierających powtarzające się sekwencje ostatnich niezerowych cyfr pewnych liczb. Na potrzeby naszego zadania: ostatnia cyfra wynosi 4. PS. Artykuł jest w języku angielskim, ale gorąco zachęcam do przeczytania, gdyż czasami warto wiedzieć jak zabierać się do pewnych spraw. PS2. Również pod tym linkiem: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A008904 znajduje się kilka ciekawych informacji odnośnie ciągu ostatnich cyfr (niezerowych) silni kolejnych liczb naturalnych.

marcin: rozwiązanie: L(n) − ostatnia cyfra niezerowa n = 5q + r q>=1 r to liczba od 0 do 4 L(n) = 2^qL(q)L(r) mod 10

Bogdan: Dziękuję Jacku za informacje. Cytowane przez Ciebie artykuły już wcześniej widziałem. Widać, że problem był już badany, myślę jednak, że warto mu się przyjrzeć.

tomek: marcin: "L(n) − ostatnia cyfra niezerowa n = 5q + r q>=1 r to liczba od 0 do 4 L(n) = 2^qL(q)L(r) mod 10" Ciekawe, rozwiązanie, o dziwo działa, znalazłem nawet jakieś uzasadnienie, ale nie wiem czy dobrze zrozumiałem uzasadnienie tej rekurencji (poniżej link): http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=577096#577096

marcin: ta