podwójna silnia myślący: Udowodnić że : (2n)! ! ≤(n+1)ⁿ Pomocy jak to zrobić pomóżcie

Godzio: Pomogę

Godzio: (2n)! ! ≤ (n + 1)ⁿ (Oczywiście dowód indukcyjny) Dla n = 1 mamy: L = (2)! ! = 2 ≤ 2 = (1 + 1)¹ − ok Załóżmy, że dana nierówność jest prawdziwa dla pewnego n: (2n)! ! ≤ (n + 1)ⁿ, pokażemy, że dla kolejnego jest również prawdziwa: (2n + 2)! ! ≤ (n + 2)^{n + 1} Dowód: _ZAŁOŻENIE (2n + 2)! ! = (2n)! ! * (2n + 2) ≤ (n + 1)ⁿ * 2(n + 1) = 2(n + 1)^{n + 1} Pozostaje nam pokazać, że 2(n + 1)^{n + 1} ≤ (n + 2)^{n + 1} Najpierw pokażę coś prostszego:

	n 1		n 2		n n
(n + 1)n = nn +		nn − 1 +		nn − 2 + ... +		*1 =

	n 2		n n
nn + nn +		nn − 2 + ... +		≥ nn + nn = 2nn

więc, biorąc 2(n + 1)^{n + 1} ≤ (n + 2)^{n + 1} , co kończy dowód

myślący:

	n+1 0		n+1 1
czyli rozpisuję tak : 2(n+1)n+1≤2		+ 2		+... ?

myślący:

	n+1 0		n+1 1		n+1 2
znaczy ≤ 2		nn+1 2		nn 2		nn−1... ? (bo dwójak jest

przed nawiasem i niewiem rzed karzdż silnią ją zapisywać ?)

Godzio: Tak

myślący: bo dwójka jest przed nawiasem i nie wiem mam przed każdą silnią ją zapisywać

Godzio: No jak przed nawiasem, to właśnie przed każdą trzeba zapisać

Godzio: Ale polecałbym nie ciągnąć dowodu, tylko na boku udowodnić tą nierówność co zapisałem, tzn: (n + 1)ⁿ ≥ 2nⁿ

Godzio: To w takim razie powodzenia i dobranoc

myślący: to jak nie ciągnąć dowodu czyli co zrobić?

myślący: normalniee rozpisać jak ze wzorru tak ?

myślący: ale ty już udowodnileś tą nierówność czyli zadanie jest zrobione tak

myślący: tylko nie muszę czsem udowodnić że 2nⁿ jest większe od (2n)! ! ?

pigor: ... lub tak : równość zachodzi tylko przy (*) n=1 i oczywiste jest , że (**) (2n)!<(2n)! !, a z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną : ⁿ√2*4+6* ... *(2n) < ^{2+4+6+ ... +(2n)}_n = ^{2(1+2+3+ ... +n)}_n= ^2(1+n)n_2n ⇒ stąd, skracając przez 2n : ⁿ√2*4+6* ... *(2n) < 1+n / ⁿ obustronnie ⇒ ⇒ 2*4+6* ... *(2n) < (1+n)ⁿ ⇒ (2n)! < (n+1)², a stąd z (*) i (**) (2n)! ! ≤ (n+1)ⁿ c.b.d.u. ...

myślący: oczywiste jest , że (**) (2n)!<(2n)! ! ? pezecież np dla n=4 to 2(4)!=8!=1*2*3*4*5*6*7*8 a dla 2(4)! ! =8! ! = 2*4*6*8

myślący: chyna odwrotnie ten znak

pigor: ... no jasne kurcze , przepraszam pomroczność jasna

myślący: ale wiesz czy mógłbyś mi pomuc tym sposobem co Godzio bo zadałem pytanie tylko nie muszę czsem udowodnić że 2nⁿ jest większe od (2n)! ! i nikt mi nie odpowiedział

Basia: przecież to nieprawda; 2*4⁴ = 2*4*4*4*4 = 2*16² = 2*256 = 512 (8)! ! = 2*4*6*8 = 6*64 = 384 miało być chyba (2n)ⁿ > (2n)! !

myślący: nie miało być 2(n)ⁿ ≥ (2n)! !