Zadanko. Karola: Wierzchołek C trójkąta ABC leży na okręgu o równaniu x² + 12x + y² − 2y + 21 = 0 , a pozostałe wierzchołki mają współrzędne A = (− 4,1) i B = (2 ,1) . Oblicz wartość wyrażenia sin−∡ABC:sin ∡BAC

Basia: I żadnych więcej informacji ? Może coś o tym trójkącie ? W takiej formie wydaje mi się nie do policzenia, ale oczywiście mogę się mylić.

Eta: Basiu! Zaraz spróbuję napisać, Dwie godziny myślałam nad tym zadaniem Ciekawe, zobaczysz czy dobrze myślę? Rysunku już nie bedę dawać.

Eta: Oczywiście najpierw wyznaczamy S i r okręgu x² +12x +36 − 36 +y² −2y +1 −1 +21=0 (x+6)² +( y−1)² = 16 S(−6, 1) r= 4 punkt C( x, y) i należy do okręgu więc: spełnia jego równanie: Korzystamy ze wzoru sinusów dla tego ΔABC zatem:

	IACI		ICBI
		=
	sinABC		sinCAB

przekształcając mamy:

IACI		sinABC
	=
IBCI		sinCAB

liczę długości IACI i IBCI piszę bez pierwiastków czyli IACI² i IBCI² czyli:

	IACI2		(x +4)2 +(y−1)2
		=
	IBCI2		(x −2)2 +(y −1)2

ponieważ C spełnia równanie okręgu więc za (y −1)² = 16 − (x +6)² po podstawieniu otrzymamy nie chce mi się już pisać wszystkiego ( po redukcji w liczniku i w mianowniku otrzymamy:

	IACI2		−4x − 4
		=
	IBCI2		−16x − 16

co daje po skróceniu:

	IACI2
		= 14
	IBCI2

	IACI
więc		= 12
	IBCI

lub −¹₂ −−− tu sprzeczność ,bo długości boków >0 zatem :

	sinABC
		= 12
	sinBAC

Myślę ,że jest OK Czekam na potwierdzenie Basiu PS: Bardzo mi to zadanko nie dawało spokoju i ciekawa jestem co Ty Basiu na to?

Eta: Basia... jesteś? Nadmienię,że kiedyś ......... podobne rozwiązywałam . Tak coś mi się przypomniało?... dlatego tak się na to zadanie uparłam Pamięć jest jednak ulotna!... ale "upór".... zwycięża

Basia:

Eta: TaaaaaaaaK Dobrze Noooooo

Eta: O Boh tyle braw W życiu nie dostałam

Basia: Świetnie to rozwiązałaś. Brawa w 200% zasłużone !

Eta: Szkoda ,ż dzisiaj nie ma Bogdana Rozwiązał by z pewnością szybcjej A może jutro inny sposób poda? Będziemy chyba powoli do Miłych snów! Ja po tylu brawach z pewnością spokojnie zasnę

Basia:

Bogdan: S − środek okręgu, R − długość promienia okręgu, Trójkąt ABC: a = |BC|, b = |AC|, c = |AB| = 6, d = |SA| = 2, |SB| = c + d = 8 S = (−6, 1), R = |SC| = 4, δ = |<CSA| = |<CSB| α = |<BAC|, β = |<ABC|, Z wzoru sinusów: ^sinβ_sinα = ^b_a > 0 Z wzoru kosinusów: 1. w trójkącie SAC: b² = R² + d² − 2Rdcosδ => b² = 16 + 4 − 16cosδ => b² = 4(5 − 4cosδ) 2. w trójkącie SBC: a² = R² + (c+d)² − 2R(c+d)cosδ => a² = 16 + 64 − 64cosδ => a² = 16(5 − 4cosδ) (^b_a)² = ⁴₁₆ = ¹₄ => ^sinβ_sinα = ^b_a = ¹₂ lub ^sinβ_sinα = −¹₂ nie spełnia warunków zadania. Odp.: ^sinβ_sinα = ¹₂

Karola: Dzieki wielke Tez kombinowałam z tw. sinusow i cosinusow jednak do niczego sensownego nie doszlam −−−> zadanko mnie przerosło Pozdrawiam