JAk??? Wektory w R 3: Jak obliczyć długość przekątnycyh równoległoboku zbodowanego na wektorach a^→= 5p^→ + 2q^→ i b^→= p^→ − 3q^→ wiedząć że długości p= 2√2 q=3 i znając cos kąta między wektorami p i q

Wektory w R 3: Zaczełam robić to z twierdzenia cosinusa, bo też coś tam sie składa do kupy... ale jest tyyyyyyyyle przy tym liczenia.....

hmmm: hmmm

hmmm: bnhnghjnhgjh

Basia: Niestety innego sposobu chyba nie ma. Masz chociaż ten kąt podany konkretnie, czy tylko α ?

Bogdan: Wersor to wektor jednostkowy. → → p − wersor osi odciętych, p = [2√2, 0], p = 2√2, → → q = wersor osi rzędnych, q = [0, 3], q = 3 → → → a = 5p + 2q = 5*[2√2, 0] + 2*[0, 3] = [10√2, 0] + [0, 6] = [10√2, 6] → → → b = p − 3q = [2√2, 0] − 3*[0, 3] = [2√2, 0] − [0, 9] = [2√2, −9] Wektory a oraz b tworzą równoległobok, którego przekątne są → → → → → → wektorami e = a + b oraz f = a − b. → e = [10√2, 6] + [2√2, −9] = [12√2, −3] → długość |e| = √288 + 9 = √297 = 3√33 → f = [10√2, 6] − [2√2, −9] = [8√2, 15] → długość |f| = √128 + 225 = √353

Basia: Witaj Bogdanie ! A ja myślałam, że p i q to zupełnie dowolne wektory. Skąd wiedziałeś, że to wersory ?

Bogdan: Witaj Basiu. Zapis wektorów a oraz b sugerował, że p i q to wektory jednostkowe, a przecież jednostki na osiach nie muszą być równe sobie (zbyt silne jest przyzwyczajenie, że jednostki muszą być równe i że powinny mieć długość 1). Życzę udanego dnia

hmmm: JAkoś średnio to do mnie przemawia.... Podany mamy kąc cosinus i Pan B. Nie wykorzystał go w swoich rozważaniach. Ja zastanawiałabym sie czy nie wykorzystać tu iloczynu skalarnego do wyliczenia kąta między wekrorami a i b

Basia: Właśnie, gdyby to były tensory, to α=90 i cosα=1. To oczywiście upraszcza sprawę, ale moim zdaniem p i q tensorami być nie muszą, no chyba, że Wektory... coś w treści pominął.

Wektory w R3: nie pominoł, dodać powinno sie miare kąta między wektorami p i a róną 45

Basia: No to pomiął (nie pominoł ). Miara kąta między p i q = 45. Tak No to z tw.cosinusów nie powinno być tak strasznie. Policzę to za chwilę.

Basia: A to jest schemat rozwiązania 1. z tw.cosinusów liczymy a i b 2. kąt α między a→ i b→ liczymy z iloczynu skalarnego a→ i b→ 3. AC→ = a→+b→ długość znowu z tw.cosinusów 4. BD→ = −a→ + b→ kąt między −a→ i b→ β = 180−α długość znowu z tw.cosinusów

Basia: a² = (5p)² + (2q)² − 2*5p*2q*cos45 =

	√2
25(2√2)2 + 4(3)2 − 20*2√2*3*		=
	2

25*4*2 + 4*9 − 120 = 200 + 36 − 120 = 116 a = √116 = 2√29 b² = p² + (3q)² − 2*p*3q*cos135 =

	√2
(2√2)2 + 9*9 − 6*2√2*3*(−		) =
	2

8 + 81 + 36 = 125 b = √125 = 5√5 → → a * b = a*b*cosα = 2√29*5√5*cosα = 10√29*5*cosα = 10√145*cosα → → → → → → a * b = (5p + 2q)*(p−3q) = 5p² − 15p * q + 2p * q − 6q²= 5*(2√2² + 13*p*q*cos45 − 6*3² =

	√2
5*4*2 + 13*2√2*3*		− 6*9 =
	2

40 − 36 + 13*6 = 4 + 78 = 82 10√145*cosα = 82

	82
cosα =
	10√145

AC² = a² + b² − 2a*b*cosα BD² = a² + b² − 2ab*cosβ = a² + b² + 2ab*cosα koszmarne, ale do policzenia