Całki dla funkcji wielu ziennych, współrzędne biegunowe. Maciaz: Stosując współrzędne biegunowe oblicz całkę. Prosiłbym o szczegółowe wyjaśnienie − będę niesamowicie wdzięczny... Obszar całkowania: x²+y²−2y≤0 ∬(x²+y²)dxdy Więc tak: x=rcosφ y=rsinφ x²+y²=r² J=r J−jakobian Obszar całkowania: x²+(y−1)²≤1 Daje nam to koło o promieniu 1 i środku w punkcie (0,1). Stąd: 0≤φ≤? 0≤r≤1 Jak wyznaczyc kąt φ, gdy mamy koło o środku w innym punkcie niż (0,0)? Prosiłbym o pomoc.

Maciaz: Oczywiście mała pomyłka. 0≤φ≤2π 0≤r≤? Chodzi o wyznaczenie promienia, który się zmienia. Pomyłka.

Maciaz: Czy może będzie to tak: Przekształcone założenie: x²+y²=2y Stąd r²=2rcosφ r=2cosφ jako górna granica?

Krzysiek: wstawiasz do obszaru całkowania x,y i otrzymujesz: r(r−2sinφ)≤0 czyli: r∊[0,2sinφ]

Krzysiek: poza tym φ∊[0, π] bo przecież obszar jest tylko nad osią OX

Maciaz: Aha, rozumiem... A co w przypadku, gdy obszar całkowania będzie wyglądał tak: x²+y²≤1 x≤y≤√3x x≥0 y≥0 Wygląda to mniej więcej tak jak na rysunku wyżej...

Maciaz: Tzn. że jak obszar jest we wszystkich 4 cw to φ∊[0,2π] nad/pod osią OX/OY φ∊[0,π]

	π
w 1 cwiartce φ∊[0,		]
	2

? Dla obszaru, którym jest pełne koło ^

Krzysiek: z równania koła mamy: r∊[0,1] teraz: y≥x y=x

	π
czyli: współczynnik przy x to1 zatem tgα=1 więc α=		(zatem pomiędzy osią OX a prosta y=x
	4

jest 45 stopni) podobnie y=√3x

	π
α=
	3

	π		π
zatem φ∊[		,		]
	4		3

Krzysiek: z tymi obszarami, to przecież zależy co gdzie mamy (w której ćwiartce) a nie co tam jest (nieważne czy to koło) więc zaczynami od dodatniej osi OX do osi (jak wstawisz kąt równy zero otrzymasz punkt (r,0) )

	π
i np. kąt do dodatniej osi OY to 90 stopni czyli:
	2

	π		3π
zatem np. na lewo od osi OY jest to obszar: [		,		]
	2		2

Maciaz: eh, że ja tego nie zauważyłem... Dzięki wielkie