Ekstrema funkcji CatAnn: Dla jakich wartości parametru m (m∊R) funkcja f(x) = [(m−2)/5] x⁵ − [2(m+3)/3] x³ + (m+1)x nie ma ekstremów? Nie za bardzo wiem jak się wziąć za to zadanie. Policzyłam pochodną − i co dalej?

maddhew: A znasz warunek konieczny, aby funkcja miała ekstremum?

CatAnn: No jak rozumiem chodzi o to, że aby funkcja miała ekstremum w danym punkcie, to jej pochodna w tym punkcie musi być równa zero oraz musi być zmiana monotoniczności (rosnąca na malejącą lub malejąca na rosnącą)?

maddhew: Tak, tak więc pochodna musi być stale ≥0 lub ≤0

Jack: "...jej pochodna w tym punkcie musi być równa zero oraz musi być w tym punkcie zmiana znaku pochodnej"

CatAnn: Jack, okey, zdaje mi się, że dokładnie to samo napisałam powyżej... maddhew − mam jeszcze jedno pytanie. Bo faktycznie teraz rozumiem i ładnie mi wychodzi − z jednym małym wyjątkiem. Wynik powinien być taki, że m ∊ (−∞, −1>, a mi wychodzi dość blisko położone m∊ (−∞, −11/7>, co najprawdopodobniej jest wynikiem jakiejś głupoty − może błędnie policzonej delty (czy powinna wyjść 28m+44?) Albo nie dostrzegam jakiegoś warunku, który zawęziłby mi kra poszukiwań o te nieszczęsne 4/11...?

CatAnn: Proooszę, pomocy...

maddhew: Pochodna wychodzi (m−2)x⁴ − 2(m+3)x² + m+1 t=x², t≥0 (m−2)t²−2(m+3)t +m+1 Δ<0 wtedy nie ma miejsc zerowych, czyli pochodna nie zmienia znaku. Ale ciągle mi inny wynik teraz wychodzi, ogarnę się i doliczę do końca.

Jack: Może to: 1) po podstawieniu: t=x², mamy:Δ<0 lub 2) po podstawieniu: t=x², mamy:Δ>0 i t₁,t₂<0

Jack: właściwie to dla 2) przy t=x² (t≥0), mamy: Δ≥0 i t₁,t₂<0

maddhew: Ale to by było bez sensu, jak są dwa pierwiastki to jest zmiana znaku. A i poprawiam od razu siebie, Δ≤0, nie < 0. Też mi wychodzi −11/7

maddhew: Aaaaa, dobra, już pamiętam. Jeśli funkcja ze zmienną pomocniczą ma dwa pierwiastki ujemne, to funkcja bez podstawienia, czyli czwartego stopnia, nie ma żadnego pierwiastka, czyli właściwa pochodna nie zmienia znaku.

maddhew: Gdyby był jeden pierwiastek dodatni, to funkcja właściwa miałaby 2 pierwiastki, a gdyby dwa były dodatnie, to byłyby cztery pierwiastki. Teraz to i ja Jack dziękuję, że mi niechcący taką ważną rzecz przypomniałeś

Jack:

CatAnn: Spróbowałam zająć się tymiż pierwiastkami ze wzorów Viete'a, ale dalej coś mi nie wychodzi... Już nie mam pomysłu na to zadanie. Podobno jest też jakaś metoda z pochodnymi wyższego rzędu, ale nie za bardzo ją rozumiem, a i na lekcji tego nie było, więc raczej nie o to chodzi...

maddhew: No to poczekaj, podsumujmy, mamy 3 przypadki 1) Δ<0 2) Δ=0, t₀<0 3)Δ≥0 t₁*t₂>0 t₁+t₂<0 Dalej nie chce wyjść?