Stereometria + ciągi psik: wymiary prostopadłościanu są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego zaś jego objętość wynosi 64. Wyznacz wymiaru boków prostopadłościanu dla których jego pole pow. całkowitej jest najmniejsze. Doszedłem do tego że b =4 oraz a*c =16 , Pc wyszło mi w postaci 8a+8c+32 i to ma być najmniejsze ale jak podstawiam za c = 16/a to wychodzi mi ujemna wartość boku . Help

psik: pomoże ktoś?

psik: Heeelp.

Baś: To ja mogę. Akurat dziś robiłam zadanka optymalizacyjne.

psik: Będę wdzięczny. Jestem maturzystą

Baś: Też wyszły mi ujemne. Więc jeszcze raz, teraz z kartką papieru

psik: a wyszło mi −2. Powinno 4 . Dafuq

Baś: Mam problem, bo nie widzę błędu w moim toku myślenia, martwi mnie to. a,b,c− boki prostopadłościanu (>0) a, aq, aq² q>0 (aq)³=64=> aq=4=b jeszcze raz zapiszmy więc nasz ciąg za pomocą nowej zmiennej.

4
	, 4, 4q
q

	4		4		16
Pc= 2*		*4+2* 4q*4+2*		*4q=2(16q+16+		)= 32(q2+q+1)
	q		q		q

	−b		−1
qmax=		=
	2a		2

dla q=−1/2−> boki ujemne −8,4,−2 Co jest głupotą

psik: tak, dokładnie mam to samo, i też mnie to martwi! xD.

psik: I również nie widzę błędu, to straszne.

Baś: Pocieszę Cię, za miesiąc matura

psik: Patrzę teraz na twój sposób. Wszystko byłoby dobrze gdyby q wyszło 1 , ale hmm jak to zrobić

psik: Tak, jeszcze rozszerzona. Idę się zaszczelić <paf>. Ujemne boki mi wychodzą, prawdopodobieństwo większe od 1 , wiedz że coś się dzieje xD. Baś też maturka?

Baś: Też. Tak samo. Dlatego właśnie nic nie robię, żeby się niepotrzebnie nie dobijać... Skąd wytrzasnąłeś to zadanie?!

psik: nawet gdyby narzucić z góry że boki mają być dodatnie to skąd wyjdzie 4. Prostopadłościan powinien być sześcianem...

psik: To jest odkserowane, pani dawała na weekend, to jest jakiś zestaw 45, zad.45.2. W poniedziałek spytam pani, zazwyczaj jest miła i tłumaczy dobrze . Ja nic nie robiłem dotąd ale właśnie się dobiłem i foch więcej nie robię .

psik: Robię jeszcze z kiełbasy i biała książka ćwiczenia, nowa era.

psik: przez kiełbasę mam na myśli książkę pana Kiełbasy

Baś: Ech. Zazdroszczę. Ja jestem "samoukiem" trochę. Z lekcji rozumiem 0, co więcej, tak jak bezwzględna większość trochę się boję na te lekcje przychodzić. i wiesz co ? Tak patrzę.... źle!

Baś: Jest w naszym myśleniu pewna głupota. Ogromna głupota. Patrz: jeśli mamy q²+q+1=0 Δ>0 , ramiona ku górze, a nam wyszedł wierzchołek w

	1
q=−		... nasuwa to pewne wnioski. To jest argument, nie wartość Δ=−3 , więc
	2

	3
qmin=
	4

więc a=3, b=4, c=3

Baś:

	1
Ups, a=5
	3

I V by się zgadzało, ale pewnie odp. zła

psik: Przykro mi ale dla a=b=c=4 pole wychodzi 96, a dla twojego ok. 98,7 czyli odpowiedź to nadal 4 . Ale oczywiście masz rację tam jest argument.

psik: uznajmy że to jest close enough xD. Mimo wszystko zostawię to, dzięki za chęci

Baś: Ty to zostawisz, a ja spać przez to nie będę mogła!

psik: Hah, ja chyba też ale podam rozwiązanie jak tylko będę miał

Baś: W zasadzie mamy założenie q>0, ale ech... nie wiem, czy można wyrażenie pomnożyć /*q i traktować jak f. kwadratową. To mnie z leksza męczy. Wolfram roztrzaskał to po wpisaniu w niego prawidłowo: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2%284%2Fq+*4+%2B4q*4%2B+4%2Fq+*4q%29 ale zachodzę w głowę, czy bez pochodnych i liczenia minimum lokalnego da się to zrobić.

psik: o tak, wychodzi z tego na to że powinienem znaleźć minimum lokalne takiej pochodnej , to świetnie . Niby czytałem tutaj o pochodnych i znam podstawowe wzory, ale skąd mam wiedzieć że akurat tu mam to użyć

Baś: Ja nie znam. Aleeee.... no jak szukasz przebiegu zmienności funkcji, albo ekstremów Wtedy używasz pochodnych. Nawet gdybyś miał dajmy na to... f. kwadratową możesz użyć pochodnej do znalezienia wierzchołka

kylo1303: Jesli chodzi o blad to:

	16		1
2(16q+16+		)= 32*		*(q2+q+1)
	q		q

	1
Takze zgubilas		. Zaraz sprobje rozwiazac.
	q

Baś: Nie, ja sobie to z głupoty przemnożyłam przez /*q , ale jak się okazuje− tak nie można. Człowiek uczy się na własnych błędach. Na pewno zapamiętam to w każdym razie.

Aga1: Basiek popełniłaś błąd o 20:53. q masz w mianowniku i trzeba wykorzystać pochodne.

psik: Proszę jeszcze w takim razie o pomoc, jak zrobić z funkcji : y = a² + 4a + 16 ( bo taka mi wyszła na opis pola) pochodną? w ogóle jak 16 zamienić? Bo z a² będzie a z 4a będzie 4 a 16 pomijam wtedy byłoby a = −4 a ma być 4.

Baś: Aga, już wiem. Tych błędów nawet znalazłam znacznie więcej Psik, myślę, że Wasza Pani kserowała coś ze starszych zbiorów, nie uwzględniających zmian w podstawie programowej. Pewnie nie będzie tego od Was wymagać. Na pierwszy rzut oka jest to typowe zadanko optymalizacyjne z użyciem f. kwadratowej. stąd pewnie pomyłka.

kylo1303: Jesli robilibysmy to bez pochodnych to nie bedzie takie proste (nie wiem czy z pochodna jest proste, ale zakladam ze tak) ale tez do zrobienia, troche tylko trzeba analizy slownej dodac.

	q2+q+1		1
Zeby Pc bylo najmniejsze nasze wyrazenie		=q+1+		bylo najmniejsze. Wiemy ze
	q		q

q>0. Musimy rozpatrzec co sie bedzie dzialo gdy q zawiera sie od (0,1), dla q=1 i q>1. Dla q>1 widac ze wartosci beda na pewno wieksze niz dla q=1. Musimy wiec sprawdzic czy dla q∊(0,1)

	9		1
wartosc ta jest mniejsza niz dla q=1. Mozna podstawic sobie liczby np.		oraz
	10		10

(zeby byla pewna rozpietosc w danym zbiorze.

	9		1
Dla q=		wartosc rowna sie 3
	10		90

	1
dla q=		wartosc rowna sie 11,1. Z tego mozemy wysunac wniosek, ze wraz z dazeniem q do 0
	10

wartosc rosnie. Wiec najmniejsza wartosc bedzie dla q=1.

CatAnn: pochodna z funkcji a²+4a+16 to 2a+4.

psik: Mimo wszystko chciałbym to zrobić, a ja zacząłem inaczej , nie po ciągu geometrycznym. Pole powierzchni u mnie to : 32 + 8a + 8 c i podstawiam c = 16/a, wtedy mam y = 32 + 8a + 128/a .Ach i tutaj chyba pomnożyłem przez a, ale pytanie czy mogę tak zrobić. Pewnie nie xP

MQ:

	1
Pole macie 32(q+1+		), więc nie możecie badać funkcji q2+q+1
	q

	1
Musicie badać funkcję q+1+
	q

	1
Funkcja q+1+		ma minimum dla q>0 w 1
	q

kylo1303: Gdybysmy to zobrazowali na wykresie korzystajac z paraboli (wykres nie bedzie parabola, ale to tam mniejsza) to q=1 bylby wierzcholkiem.

Baś: Rozwiązanie Kylo haczy z kolei o granice Które się w zbiorku Pazdro jeszcze uchowały, z tego co pamiętam. Fajna sprawa

psik: Aww to mi jednak nie pomogło. Jestem za głupi na to

psik: Aww to mi jednak nie pomogło. Jestem za głupi na to

kylo1303: Ja w swoim niedlugim zyciu rozwiazalem tylko jedno zadanie z pochodna. Skorzystalem z obecnych na stronie wzorkow i ladnie poszlo (zadanie polegalo na znalezieniu stycznej do krzywej). A tak to nawet sie tym za bardzo nie interesowalem, bedzie i na to czas. A kazde zadanie maturalne musi sie dac wykonac innym sposobem.

psik: uu lokalne minimum z funkcji y = 32 + 8a + 128/a wychodzi 4 więc dobrze bo tak jak miało wyjść ( nie liczyłem na ilorazie ciągu q). Jak zamienić taką funkcję na pochodną ? Chyba łapię.

Baś: Nie. Psik to jest kwestia tego, że niektóre zadania bez pochodnych można zrobić tylko w sposób łopatologiczny. Czyli myślimy nad wykresami, patrzymy, po trochu intuicyjnie, po trochu kombinacjami. Zarzucę Wam może takim zadaniem z Aksjomatu, całkiem fajne. Trochę granicami trzeba się pobawić. Wyznacz zbiór wartości funkcji:

	1
y=		+1
	−x2+x

Just for fun.

psik: ja patrząc na wykres np nie wiem czemu to jest 4, nawet nie miałem pojęcia minimum lokalne. Wierzchołek jest przecież inny, po prostu nie wiem na co mam patrzeć

kylo1303: −x²+x=x(1−x)

	1
xw=
	2

f(1/2)=5 f(∞)=1 ZW=(1,5> Dobrze?

Baś: Kylo− nie

psik: Ach, nie przepraszam jednak minimum pokrywa się z wierzchołkiem, jestem głupi.

Baś: Zadanie wydaje się pozornie proste, tak samo rozwiązała je początkowo moja nauczycielka, kiedy podstawiłam jej to pod nos Tu ponoć powinna być zastosowana 1. i 2. pochodna. A tak... trzeba kombinować. Ja myślałam, że zejdę z tego świata na jakąś apopleksję przy tym.

kylo1303: No ja to przed chwila na szybko rozwiazalem, ale skoro nie to wezme az kartke papieru

Baś: Aż weź!

kylo1303: Maksimum jest oczywiscie zle

Baś: Minimum oczywiście też

kylo1303: Maksimum jest oczywiscie zle Czy odpowiedz to ZW=(1,+∞) ?

Baś: Pudło

kylo1303: Sry, cos mi sie kielbasi z tymi postami, to zaraz zajme sie tez minimum

kylo1303: A co do minimum to tez oczywiscie ze blednie podalem, bo w koncu moze byc ujemne. W tym przed chwila rozwiazaniu poprawilem tylko maksimum bo sadzilem ze dla x→∞ bedzie najmniejsze, ale tez cos zwalilem. zaraz napisze co mi wyszlo

Baś: Oczywiście, czekam

kylo1303: ZW=(−∞,∞)−{0}

Baś: źle

kylo1303: Inaczej: ZW=R−{0} (sorki za taki lekki spam)

Baś: Też źle

kylo1303: Kolejne pudlo? Nie wmowisz mi ze zadanie jest do glebszej analizy, skoro mi sie od razu nasuwaja odpwiedzi xD (to ze bledne to inna bajka)

Baś: Zadanie jest do głębszej analizy. Inaczej pudło, powiem Ci, że ze mnie to byś nawet na torturach nie wycisnął, że wykres takiej funkcji może tak wyglądać.

Baś: Może lekka podpowiedź?

Mila: Z pochodnej q=1 a=b=c=4 sześcian

kylo1303: Wydaje mi sie ze wpadlem na dobry tok rozumowania. Moje pierwotne rozumowanie bylo dobre, tylko ze sie w jednym pomylilem. Rozwazajac liczby dodatnie funkcji −x²+x lecimy od 5 do +∞. Potem jest x=0 ktore odrzucamy. WIec CZĘŚCIĄ rozwiazania bedzie <5,+∞). Jeszcze zobacze jak bedzie dla ujemnych wartosci i zaraz poodam pelna odpowiedz.

kylo1303: ODPOWIEDZ: ZW=(−∞,1)u<5,+∞) Teraz dobrze?

Baś: mhm

kylo1303: Na poczatku dobrze policzylem "granice", ale zle wyznaczylem zbior. Potem nadrabialem luke w mysleniu, tyle ze pominalem wyznaczone wartsci. Dodalem jedno do drugiego i wyszlo cos takiego. Jesli tez jest zle to przez najblizsze 30min nic nie napisze i bede myslal.

kylo1303: "mhm" oznacza "dobrze" ?

Baś: No, tak. A jakżeby inaczej

psik: a ja mam pytanie, też to robiłem. Pochodna y = −x² + x wyszła mi y = −2x + 1. Liczyłem lokalne coś i wyszło mi że jest dla x=1/2 i wynosi 5. Z wykresu paczę a to minimum lokalne. Skąd mam wiedzieć że to minimum a nie maksimum nie rysując wykresu. Wiedząc że to minimum rozwiązałbym to.

psik: Dobra Kylo że jak to zrobiłeś? Rozpisz to xD.

psik: Bo że dąży funkcja do jedynki to wyszło ci z granicy tak? ( sorki za być może głupie pytania)

Baś: psik: https://matematykaszkolna.pl/forum/130003.html

Mila: ?Sześcian!

psik: Z pytaniem o minimum czy maksimum już wiem. Po prostu mogę sobie sprawdzać dla poszczególnych x−ów większych i mniejszych od 1/2 czy rośnie czy maleje tak? Dobrze łapię?

kylo1303:

	1
f(x)=		+1
	−x2+x

Zaczalem od narysowania funkcji y=−x²+x. To sa nasze "niewiadome" wiec musimy je rozpatrzec. Rozbilem to sobie tak jakby na 2 przedzialy: kiedy parabolka jest nad osia OX i kiedy jest pod nia (x=1 i x=0 odrzucamy). Dla y>0:

	1		1
Wartosci y zawieraja sie od 0 do		wlacznie. Sprawdzam wiec najpierw dla x=		(wtedy
	4		2

y=1/4) wartosc naszej f(x). f(1/2)=5 Teraz sprawdzam co sie bedzie dzialo gdy y dązy do 0 (ale nie przekracza os OX). SPrawdzam wiec jakeis mniejsze liczby. Wtedy wartosci f(x) rosna. Wysuwam wniosek, ze gdy y→0 to f(x)→∞. Wiec ZW naszej f(x) bedzie sie zawieral <5,∞) (tylko w rozwazanym przypadku, potem moze to ulec zmianie.) Drugi przypadek to kiedy y<0. Tutaj sprawa jest bardziej skomplikowana bo nie mamy zadnego puntu "stalego" (tak jak wierzcholek w przypadku kiedy y>0). Najpierw sprawdzam kiedy x=−∞. Wtedy nasz ulamek bedzie dazyl do wartosci 0, a nasza f(x) bedzie dazyc do 1. Pozostaje sprawdzic co sie dzieje kiedy x rosnie od −∞ do 0. Sprawdzam, i wychodzi ze wartosc f(x) maleja. Wniosek jest taki ze w rozpatrywanym przedziale ZW=(−∞,1) (jedynki nie osiagnie). Łacze te 2 zbiory i daje odpowiedz. JAk cos nie jasne to pisz

kylo1303: Baś To tam jest tak samo jak ja myslalem, tylko ze nie znalem zapisu 0⁺ itd (ciagle uzywalem sformuowan slownych "dazy do") P.S. skad zmiana nicku?

psik: rozumiem ale to skomplikowana analiza i związana też z granicami których w ogóle nie miałem, ale przyswajam powoli.

psik: 81 odpowiedzi, to się nazywa forum xD. Zapiszę to sobie i spadam. Dzięki Baś i Kylo

kylo1303: Tzn ja granic tez jako tako nei mialem. Powiedzialbym ze sam dokonalem wlasnej luznej analizy powiazanej z granicami. Nie znam dokladnego zapisu (lim→∞ itp), dlatego tego typu zadanie robie na logike i ewentualnie podstawianie. Ja kiedys chcialem sie nauczyc granic, calek, pochodnych itd to mi nauczyciel powiedzial ze nie ma sensu bo to mi sie do matury nie przyda, bo tam tego nie ma... I teraz pytam sie: co jest nie tak z nasza edukacja? Przychodzi do nauczyciela uczen zdolny, chcacy sie uczyc ponad program, a ten mu mowi ze to nie ma sensu... Po prosto pozostaje zalamac rece.

Baś: Psik branoc Kylo− wiem, ale dobrze rozpisane, krok po kroku, myślałam, że może się Psikowi przydać Zostałam zmuszona zmienić nick, kiedy kilka osób mnie pomyliło z niejakim Basiakiem i jeszcze potem widziałam kogoś z jedną inną literką zmienioną. Denerwowało mnie. Bardzo.

kylo1303: Rozumiem, przyjmuje wyjasnienie. Na forum jest sporo "Krzyskow" ale kylo tylko jeden do tego mam swoj wlasny numer katalogowy wiec raczej nikt mnie nie pomyli z innymi uzytkownikami

MQ:

	1
Wymyśliłem, jak udowodnić bez pomocy pochodnej, że funkcja y=q+1+		ma minimum dla
	q

q=1

	1		1
Dla q>0 q+1+		>0, więc szukamy liczby rozwiązań równania p=q+1+
	q		q

Równoważne to jest poszukiwaniu liczby punktów przecięcia wykresów funkcji: y=p oraz

	1
y=q+1+
	q

	1
p=q+1+
	q

pq=q²+q+1 q²+(1−p)q+1=0 Δ=(1−p)²−4

	1
Δ<0 dla −1<p<3 czyli y=q+1+		nie ma wartości <3
	q

	1
Δ=0 dla p=−1 lub p=3 czyli y=q+1+		ma tylko w jednym punkcie q wartość =3
	q

	1
Δ>0 dla p<−1 lub p>3 czyli y=q+1+		ma po dwa punkty q, dla których przyjmuje wartość >3
	q

	1
Stąd można wnioskować, że minimalna wartość y=q+1+		jest równa 3.
	q

Stąd już łątwo wyliczyć, że q=1 Oczywiście całe rozważania prowadzone były dla q>0

Baś: A tam mylić. Ja już sama nie wiedziałam, czy to nie jakieś moje alter−ego. Zresztą, nieważne. Po prostu mnie to drażniło, a nie widziałam problemu w zmianie nicka

Baś: MQ Gratulacje. Tok rozumowania niecodzienny i genialny w swej prostocie.