Szereg Żeli papą: Mógłby ktoś rozwiązać? Próbowałem ale nie wychodzi. Mam polecenie: Z kryterium D'Alamberta lub Cauchy'ego zbadać zbieżność szeregów:

	(n!)2
b) ∑		próbowałem D'Alambertem ale po kilku przekształceniach wychodzę na
	2n2

	∞
		a za bardzo chyba tam nie ma jak użyć de l'Hospitala lub Cauchy'ego
	∞

	1
c) ∑(1 −		)n2 próbowałem Cauchym ale otrzymałem 1 i wydaje mi się że nie ma jak
	n2

tego zrobić D'Alambertem. Proszę o pomoc.

Krzysiek: b) jak jest silnia to tylko z kryterium d'Alemberta pokaż swoje obliczenia c) sprawdziłeś warunek konieczny?

Żeli papą:

	an+1
b)omine pierwszy zapis lim
	an

	((n+1)!)2		2n2		(n+1)2
lim(		*		) = lim		i tu
	2(n+1)2		(n!)2		22n+1

	∞
wychodzi		jakbym dalej nie kombinowal czyli np de l'Hospital to i tak nie moge zrobic
	∞

c) Przyjąłem że skoro zadanie jest aby sprawdzić to D'Alambertem lub Cauchym to mam nie stosować innych metod.

Żeli papą: ok chyba jest b) po prostu musiałem kilka razy tym de l'Hospitalem

Krzysiek: b) tu można od razu napisać, że ta granica zmierza do 0 ponieważ funkcja wykładnicza szybciej zmierza do ∞ niż funkcja kwadratowa. Aby takie coś udowodnić korzysta się z tw. podobne do

	an+1
kryterium d'Alemberta tzn liczy się:		i gdy granica jest mniejsza od 1 to an
	an

→0 c) Tylko, że to jest warunek konieczny do zbieżności szeregu więc to się pierwsze sprawdza...

Krzysiek: b) a_n =0 (a nie zmierza) z de l'hospitala to nie do końca jest poprawna metoda bo tu mamy do czynienia z ciągami a nie z granicami funkcji

Alkain: Krzysiek na kolokwium miałem też przykład z silnią i bez problemu można to policzyć z kryterium Cauchy'ego.

	(n!)2
∑
	2n2

	(n!)2
więc mamy do policzenia granice z n√
	2n2

	n
Zastosujemy tu wzór Stirlinga który mówi nam, że n!≈(		)n√2πn
	e

Podstawiamy i liczymy (pozbędę się na chwilę pierwiastka aby łatwiej to policzyć

n   ( )n√2πn   e
2n2

	n
Wyłączam		przed pierwiastek
	e

	n		2πn
Zostaje		n√
	e		2n2

można to zapisać w takiej postaci

n	n√2πn
e	n√2n2

I teraz tak ⁿ√2πn dąży do 1 ⁿ√2n² również do 1

	n
Więc zostaje tylko
	e

a granica tego to ∞

	(n!)2
Więc limn−>∞ n√		>1
	2n2

Czyli na mocy prawa Cauchego szereg jest rozbieżny. Niech ktoś sprawdzi

Alkain: Zjadłem pierwiastek kwadratowy przy 2πn, ale to i tak nic nie zmieni

Krzysiek: Alkain ale bez tego wzoru (który trzeba pamiętać) nic nie zrobisz z Cauchy'ego ... po 2 czy z d'ALemberta nie wyszedł, że jest zbieżny?;>

Żeli papą: Dzięki za pomoc. Z moich obliczeń wychodzi że jest zbieżny.

Alkain: Zaraz sprawdzę, ale chyba z d'Alemberta też wyjdzie rozbieżny

Alkain: No to teraz muszę pomyśleć gdzie może być jeśli naprawdę jest zbieżny.

Alkain: Kryterium d'Alamberta

	(n!)2
limn−>∞
	2n2

an+1
an

((n+1)!)2		2n2		(n!(n+1))2		2n2
	*		=		*		=
2(n+1)2		(n!)2		2(n2+2n+1)		(n!)2

n!2 (n+1)2		2n2		(n2+2n+1)2n2
	*		=		=
2(n2+2n+1)		(n!)2		2n2+4n+2

(n2+2n+1)n2
n2+2n+1

Kurde z d'Alamberta też wyjdzie rozbieżny Żeli papą jak ty to policzyłeś, możesz dać obliczenia ?

Krzysiek: ale tam w mianowniku jest: 2ⁿ² a nie 2n²

Alkain: aha... to tak kiepsko widać, że nie zauważyłem no cóż może komuś się przydadzą te obliczenia