Zadanka maturalne (hiperbola styczna parametr m) Siwus: Witam ! Prosiłbym o wyrozumiałość, gdyz jest to mój pierwszy post na tym forum za wszystkie błędy z góry przepraszam. Mam problem z paroma zadankami prosiłbym o pomoc w ich rozwiązaniu Oto one: zad1 Sprawdź, czy przekształcenie P płaszczyzny dane wzorem: P((x,y))=(x, y − 1) jest izometrią. Wyznacz równanie obrazu hiperboli o równaniu xy = 6 w przekształceniu P. zad2 Napisz równania stycznych do wykresu funkcji y=3x+ 9/x i równoległych do prostej y= 2x+1 zad3 Wyznacz wartości m, dla których funkcje f(x) = − 1/2x ² +x+4 g(x) = (m ²+m+1)x ² −(2m+3)x+1 osiągają ekstremum w tym samym punkcie. Z góry wielkie dzięki !

Basia: Pomagam

Basia: ad.1 Przekształcenie jest izometrią ⇔ zachowuje odległość punktów P(x₁,y₁) S(x₂,y₂) |PS| = √(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² P'(x₁,y₁−1) S'(x₂,y₂−1) |P'S'|= √(x₂−x₁)² + [(y₂−1)−(y₁−1)]² = √(x₂−x₁)² + (y₂−1−y₁+1)² = √(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² = |PS| czyli przekształcenie jest izometrią ad.2 i ad.3 znasz pochodne ?

Siwus: nie znam pochodnych

Basia: ad2. Styczna do krzywej y = f(x) w p−cie x₀ to prosta o równaniu y = ax + b gdzie: a = f'(x₀) Ponieważ Twoja styczna ma być równoległa do prostej y=2x+1 współczynnik a=2 Musisz obliczyć pochodną funkcji y=f(x) i znaleźć takie x₀, dla którego f'(x₀)=2 Parametr b wyznaczysz na podstawie tego, że Twoja styczna przechodzi przez punkt P(x₀, f(x₀))

Basia: No to trzeba inaczej, ale nie wiem na razie czy coś z tego wyjdzie. Musisz chwilę zaczekać.

Basia: ad2. Ponieważ styczna ma być równoległa do prostej y = 2x+1 musi mieć równanie y = 2x + b Ponieważ to jest styczna musi mieć z wykresem funkcji jeden i tylko jeden punkt wspólny, czyli równanie: 3x + ⁹_x = 2x+b musi mieć jedno i tylko jedno rozwiązanie. x≠0 D_f=R\{0}

	9
3x +		= 2x+b /*x
	x

3x² + 9 = 2x² + bx x² − bx + 9 =0 to równanie ma mieć jedno i tylko jedno rozwiązanie czyli Δ=0 Δ = (−b)² − 4*1*9 = b² − 36 b²−36=0 (b−6)(b+6)=0 b = 6 lub b=−6 będą dwie styczne spełniające warunki zadania: y = 2x + 6 y = 2x − 6

Basia: ad3. Najpierw musisz znaleźć ekstremum funkcji y=f(x) f(x) = − 1/2x² +x+4 to funkcja kwadratowa

	1
a = −
	2

czyli ramiona paraboli, która jest jej wykresem są skierowane w dół czyli ta funkcja osiąga maximum w punkcie, który jest wierzchołkiem paraboli

	b
xw = −
	2a

	1
xw = −
	−1

[Nx_w = 1]]

	1		1		1
yw = f(xw) = f(1) = −		*1 + 1 + 4 = 5 −		= 4
	2		2		2

y_w=⁹₂ g(x) = (m²+m+1)x² −(2m+3)x+1 to też jest funkcja kwadratowa, czyli współrzędne jej wierzchołka muszą być takie same a = m²+m+1 b = −(2m+3) c = 1 zbadajmy a = m²+m+1 Δ_m = 1² − 4*1*1 = −3 < 0 stąd wynika, że m²+m+1 jest stale dodatnie, czyli: 1. ta funkcja będzie miała minimum 2. można dzielić przez a=m²+m+1

	−b		2m+3
xw =		=
	2a		2(m2+m+1)

	−Δ
yw =
	4a

Δ = [−(2m+3)]² − 4*(m²+m+1)*1 Δ = (2m+3)² − 4(m²+m+1) Δ = 4m² + 12m + 9 − 4m² − 4m − 4 Δ = 8m + 5

	−8m−5
yw =
	4(m2+m+1)

no i trzeba rozwiązać

2m+3
	= 1
2(m2+m+1)

i

−8m−5		9
	=
4(m2+m+1)		2

to już na pewno potrafisz teraz muszę kończyć, ale będę za godzinę

Siwus: ok dzięki za pomoc