Udowodnij Tomek: Udowodnij, że 7ⁿ*2³ⁿ−3²ⁿ jest podzielne przez 47

Basia: indukcja to ma być czy jakiś inny sposób ?

Tomek: Cokolwiek.

Basia: no to indukcja, bo jestem leniwa 1. n=1 L = 7¹*2³−3² = 7*8−9 = 47 = 1*47 2. Z: 7ⁿ*2³ⁿ − 3²ⁿ = p*47 gdzie p∊C T: 7ⁿ⁺¹*2³⁽ⁿ⁺¹⁾ − 3²⁽ⁿ⁺¹⁾ = m*47 gdzie m∊C dowód: zauważamy, że Z jest równoważne z zapisem: 7ⁿ*2³ⁿ − p*47 = 3²ⁿ gdzie p∊C 7ⁿ⁺¹*2³⁽ⁿ⁺¹⁾ − 3²⁽ⁿ⁺¹⁾ = 7*7ⁿ*2³ⁿ*2³ − 3²ⁿ*3² = 56*7ⁿ*2³ⁿ − 9*3²ⁿ = (na mocy przekształconego Z) 56*7ⁿ*2³ⁿ − 9*(7ⁿ*2³ⁿ − p*47) = 47*7ⁿ*2³ⁿ + p*9*47 = 47*[ 7ⁿ*2³ⁿ + 9p ] = 47*m co kończy dowód bo m = 7ⁿ*2³ⁿ + 9p ∊C

Eta: 2/ sposób ze wzoru aⁿ−bⁿ=(a−b)(aⁿ⁻²+aⁿ⁻³*b+......... + bⁿ⁻²) 7ⁿ*8ⁿ−9ⁿ = 56ⁿ−9ⁿ= (56−9)( 56ⁿ⁻²+56ⁿ⁻³*9+.......... + 9ⁿ⁻²)= = 47* k bo k= (56ⁿ⁻²+ ............. + 9ⁿ⁻² ) −−−− jest całkowita zatem pierwotnie podana liczba jest podzielna przez 47 c.n.u

AC: 7ⁿ*2³ⁿ =7ⁿ*8ⁿ = 56ⁿ = 9ⁿ = 3²ⁿ modulo 47 c.b.d.u.