trójkąt ola: Wykaż,że jeżeli w trójkącie a :b :c = 4: 5 :6 to γ=2α

Basia: Rozwiązuję

Basia: Przyjmijmy a=4x b=5x c=6x z tw.cosinusów c² = a² + b² −2abcosγ 36x² = 16x² + 25x² − 2*4x*5x*cosγ 36x² = 41x² − 40x²cosγ /:x² 36 = 41 − 40cosγ 40cosγ = 5

	5
cosγ =
	40

	1
cosγ=
	8

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− sin²γ+cos²γ=1

	1
sin2γ +		=1
	64

	63
sin2γ=
	64

	63		√9*7
sinγ =√		=
	64		8

	3√7
sinγ =
	8

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ponownie z tw.cosinusów a² = b² + c² − 2bccosα 16x² = 25x² + 36x² − 2*5x*6x*cosα 16x² = 61x² − 60x²cosα /:x² 16 = 61 − 60cosα 60cosα = 45

	45
cosα =
	60

	3
cosα =
	4

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− sin²α+cos²α=1

	9
sin2α +		= 1
	16

	7
sin2α=
	16

	√7
sinα =
	4

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	√7		3		3√7
sin2α = 2sinαcosα = 2*		*		=		= sinγ
	4		4		8

	9		7		2		1
cos2α = cos2α − sin2α =		−		=		=		= cosγ
	16		16		16		8

stąd: 2α = γ

ola: dziękuję bardzo