Interpolacja wielomianowa Mac: Mam problem z dwoma podpunktami zadania: Rozwazmy wielomiany nad cialem Z₅. a) Znajdz wszystkie wielomiany stopnia nie wiekszego niz 3 b) Ile jest takich wielomianow stopnia nie wiekszego niz n? W b wiem ze wzor to 5ⁿ⁻², ale nie potrafie go uzasadnic. co do a, to problemu nie bylo gdy n=2, natomiast przy 3ch jest 5 takich wielomianow i nie wiem jak je wyznaczyc. Zapewne korzystajac z wzoru Lagrange, ale da sie chyba zrobic wezla L₃ nie majac x₃ i y₃

b.: w b) jest 5ⁿ⁺¹, bo jest n+1 współczynników każdy z Z₅ z b) wynika a)

b.: aha chyba podales niepelna tresc zadania

Mac: Tak zapomnialem o informacji, ze f(0)=1 , f(1) = 2, f(2) = 4. Co do b to na pewno nie jest 5ⁿ⁺¹ poniewaz, dla n= 2 istnieje tylko jeden wielomian o takich wlasnosciach.

b.: a no wlasnie... wskazowki do b) 1. znajdujemy/pokazujemy ze istnieje jeden taki wielomian P₀ (stopnia 2) 2. dowolny wielomian stopnia nie większego niż n (gdzie n>=2) jest postaci P₀ + Q, gdzie Q jest pewnym wielomianem stopnia nie większego niż n takim, że Q(0)=Q(1)=Q(2). Wystarczy więc policzyć, ile jest takich wielomianów Q. 3. a to jest łatwiejsze, bo każdy taki Q jest postaci z(z−1)(z−2) * pewien wielomian stopnia co najwyżej n−3.

b.: trochę nieprecyzyjnie napisałem, w 1. powyżej 'taki wielomian' oznacza taki, że f(0)=1 , f(1) = 2, f(2) = 4. w 2. powyżej również trzeba dopisać do 'dowolny wielomian stopnia nie większego niż n' , że chodzi o takie wielomiany, dla których f(0)=1 , f(1) = 2, f(2) = 4.

Mac: Jeszcze mam jedno pytanie, do tego zadania byl jeszcze jeden podpunkt, mowiacy zeby znalezc jedyny taki wielomian o stopniu conajwyzej 2. Robilem ten podpunkt z wzoru Lagrange i rozwiazujac ukald rownan. W obu z nich wynik wyszedl mi taki, ale wspolczynniki nie naleza do ciala Z₄. Wynik:

	x2 +x + 2
W(x) =
	2

Takich wielomianow jest 5. Poniewaz : 1=f(0) = a₀ 2=f(1) = a₀ + a₁ + a₂ + a₃ 4=f(2) = a₀ + 2a₁ + 4a₂ + 3a₃. Z takiego ukladu rownan mozemy wyliczyc a₀ oraz dwa dowolnie wybrane wspolczynniki, przy wybraniu trzeciego z tego ciala, zatem jest ich 5. Dlatego wzor jest taki jaki podalem na gorze.

Mac: Znaczy wzor sie uogolnia: mozna wybrac dowolny ciag a₁,a₂ ... a_n−2 a do tego jednoznczanie wyznaczyc np a_n i a_n−1, czyli takich wielomianow jest tyle ile n−2 elementowch ciagow ze zbioru Z₅, zatem 5ⁿ⁻². Ale nie wiem co z tymi wspolczynnikami ulamkowymi w wyniku wielomianu drugiego stopnia. Mozliwe to?

b.: te współczynniki nie są ułamkowe, np. 2⁻¹ = 3, bo 2*3=1. (Zwykle się nie pisze takiego dzielenia za pomocą kreski ułamkowej, tylko za pomocą pot ęgi z wykładnikiem −1).