Zad Godzio: Vax jakbyś był to się odezwij

Eta: Podbijam .........

Godzio: Napisze, może ktoś inny pomoże 1. Między jakimi pełnymi dziesiątkami mieści się liczba cyfr liczby 2¹⁰⁷ − 1 2. Jaka jest cyfra setek milionów liczby 35! 3. Liczba C ma 2005 cyfr. C₁ jest sumą cyfr liczb A, C₂ jest sumą cyfr A₁ itd. Począwszy najpóźniej od jakiego n wszystkie A_n są jednocyfrowe

Godzio: Eta pykniesz te zadanka ? Mam zero pomysłu na nie

Eta: Może Basia

Godzio: W ogóle fajnie, że te zadania są dla gimnazjum ...

Eta: Co?

Godzio: Przychodzi do mnie taki gimnazjalista na tego typu zadanka (jest w I G) i takie ma zadania, ciąg Fibonacciego ostatnio miał ...

Eta: To będziesz mieć samych "Vaxów" w przyszłej pracy

Basia: ad.1 2¹ = 2 2² = 4 2³ = 8 2⁴ = 16 2⁵ = 32 2⁶ = 64 2⁷ = 128 2⁸ = 256 2⁹ = 512 2¹⁰ = 1024 2¹¹ = 2048 2¹² = 4096 2¹³ = 8912 2¹⁴ = 17824 itd no to widać, że począwszy od 2⁹ to stale będą 12; 24; 48; 96 107 mod4 = 3 czyli 2¹⁰⁷ = .................48 no to zapewne 2¹⁰⁷−1 = ...............47

Basia: To są zadania albo z Kangura, albo jakiegoś innego konkursu dla gimnazjalistów.

Eta: dla Basi

Basia: a w tym trzecim coś nie gra; co to jest A ? to chyba miało być C₁ = suma cyfr C C₂ = suma cyfr C₁ C₃ = suma cyfr C₂ itd.

Godzio: Jasne, że tak Myślę co innego i pisze coś innego

Godzio: Basia ale właściwie w 1 o co chodziło, bo jeśli o to to akurat proste hmm

Basia: oj nie o to; źle przeczytałam

Basia: teraz muszę zjeść kolację; potem pomyślę jeżeli nikt inny się nie "ofiaruje"

Godzio: Ok

Mila: zadanie 2) 5! ma jedno zero na końcu − od tego trzeba zacząć i znaleźć regułę.

Godzio: Tylko, że oni chcą cyfrę setek milionów, a nie ostatnią hmmm, muszę teraz odejść od lapka, jak wrócę to będę myśleć

MQ: Liczba zer na końcu 35! jest równa akurat 8, czyli cyfra setek milionów, to pierwsza od końca niezerowa.

MQ: W 1. można by skorzystać z faktu, że 2¹⁰=1024≈10³

MQ: C_n −− k−cyfrowa to C_n+1 ≤9*k k ≤log C_n ≤ k+1

b.: @Basia: tu się pomyliłaś: 2¹³ = 8192 (nie 8912) 2¹⁴ = 16384 (nie 17824) mamy 2¹³ < 10⁴ 2¹⁰² < 10³² 2¹⁰⁷ < 10³⁴ z drugiej strony 2¹⁰ > 10³ 2¹⁰⁰ > 10³⁰ 2¹⁰⁷ > 10³² więc 2¹⁰⁷ ma co najmniej 33 cyfry, a nie więcej niż 34 cyfry (łatwo sprawdzić na kalkulatorze, że ma 33 cyfry) stąd szukana cyfra dziesiątek to 3

b.: suma cyfr liczby 2005 cyfrowej to maksymalnie 2005*9 = 18045 suma cyfr liczby ze zbioru {1,2,...,18045} to maksymalnie ... dalej łatwo

b.: ad 2. nie widzę niestety istotnie lepszego sposobu niż wymnażanie i patrzenie na ostatnią niezerową cyfrę. Tak się składa, że 35! kończy się 8 zerami, więc cyfra setek milionów jest ostatnią niezerową −− to pozwala ją policzyć wykonując tylko mnożenia liczb jednocyfrowych −− no ale mnożeń jest dość sporo... Liczbę mnożeń można nieco zredukować, ale nie na tyle, żebym uważał to za ładne rozwiązanie. 35! = 5⁶*(1*2*3*4*6*7) *5² * 32 * * (1*2*3*4) * (6*7*8*9) * (11*12*13*14) * (16*17*18*19) * (21*22*23*24) * (26*27*28*29) * (31*33*34) = 5⁸ * 2⁸ * (3*3*7*2) * (1*2*3*4) * (6*7*8*9) * (11*12*13*14) * (16*17*18*19) * (21*22*23*24) * (26*27*28*29) * (31*33*34) pierwsza liczba daje 10⁸, w pozostałych patrzymy tylko na cyfry jedności, równe odpowiednio: 6, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 2, ich iloczyn ma cyfrę jedności taką jak 6*2¹³, czyli 2. Stąd odpowiedź: 2 (sprawdziłem, zgadza się )

Godzio: Dzięki wielkie Co do zadania 2 robiłem je tak samo, ale nie dokończyłem, stwierdziłem, że nie o to chodzi, a tu właśnie się tak składa, że jest na cyfra setek milionów i później same zera więc jest idealnie. Co do 1, skąd wiadomo, że to akurat tak można ograniczać?

Basia: że przez potęgi 10 to z doświadczenia i z faktu, że z potęgami 10 jest łatwo

Godzio: Musiałem sobie przeanalizować, już ładnie mi to wychodziło dlaczego tak, a nie inaczej

b.: z góry nie wiadomo, trzeba spróbować i zobaczyć, czy się uda zresztą można było grubiej szacować, np. 2³ < 10 2¹⁰⁵ < 10³⁵ 2¹⁰⁷ < 10³⁶ i to też wystarczy a i z dołu wystarczyłoby 2⁷ > 10² 2¹⁰⁷ > 2¹⁰⁵ > 10³⁰