Szeregi Godzio: Jack, może jeszcze nie śpisz Mam pytanie

Jack: nie śpię Ale zamierzałem... Co tam masz?

Godzio: 1. Po pierwsze, jak określić dziedzinę zbieżności szeregu funkcyjnego ? 2. Po drugie, jak badać zbieżność jednostajną ? Mieliśmy przykład na wykładzie (co do 2), ale w ogóle go nie rozumiem, co do pierwszego chyba było tak oczywiste, że w ogóle o tym nic nie było

Godzio: 2. Mógłbyś wytłumaczyć na przykładzie: f(x) = xⁿ(1 − xⁿ) , 0 ≤ x ≤ 1

Jack: 1) korzystam zwykle z kryterium d'Alemberta: gdy istnieje granica

	an+1
limn→∞|		|=g≠0, to promień zbieżności wynosi 1g=R; jeśli g=0, to R=∞;
	an

jeśli g=∞, to R=0. Jeśli nie działa, to oczywiście dalej, z innych kryt. Ogólnie, trzeba znaleźć takie R≥0 aby dany szereg był zbieżny dla wartości x spełniających nierówność |x|<R (lub |x−x₀|<R) a potem osobno zbadać sprawę na brzegu przedziału. 2) nigdy tego nie lubiłem Zawsze zerkam do książki, gdy coś takiego mam zrobić Więc może na jakimś konkretnym przykładzie będę w stanie cokolwiek 'pomóc'.

Godzio: Czyli w 1 chodzi o to, żeby był spełniony warunek: |x| < R, gdzie R to promień zbieżności ? To w takim razie robię taki przykład:

	n		n
∑		= ∑		* xn
	xn		x2n

Wtedy:

	n + 1		x2n		n + 1		1
limn→∞		*		= limn→∞		} =
	x2n * x2		n		nx2		x2

r = x² > x ⇔ x ∊ (−∞,0) U (1,∞) −− i to jest dziedzina zbieżności ?

Jack: tak, a ponadto na brzegu x=1 jest rozbieżny (dla x=0 nie jest określony). Zobacz, że powstanie Ci szereg w którym funkcja wykladnicza z mianownika szybciej ucieka do nieskończoności niż wielomian z licznika. x²>|x| ⇔ x∊(−∞,−1) ∪ (1,∞)

Jack: czekaj, bo myślę nad tym drugim zadaniem

Godzio: Ok, czekam

Jack: hmmm coś napisałem Godziu, ale nie jestem tego pewien. Mogę Ci przesłać na mail kilka stronek z ćwiczeń żebyś sobie przejrzał − prawdę mówiąc ciężko mi brnąć w głąb książki, z analizą skończyłem już dwa lata temu

Jack: spoko, moja współlokatorka śpi, a nie mam drukarki w pokoju więc zrobię to rano, ok?

Jack: chyba że potrzebujesz tego "dziś"

Godzio: Nie potrzebuje spokojnie może być rano, dzięki (usuwam już maila)

Jack: Oki Rano prześlę skany!