trygonometria rybson: Mam znaleźć liczbę rzeczywistą a taką, zę funckja f(x)=sin⁶(x)+cos⁶(x)+a(sin⁴(x)+cos⁴(x)) jest stała, oraz uzasadnić odpowiedź. pomożecie dobrzy ludzie?

Artur z miasta Neptuna: sin⁶ + cos⁶ = (sin² + cos²)(sin⁴ − sin²cos² + cos⁴) sin⁴ + cos⁴ = (sin² + cos²)² − 2sin²cos² więc: f(x) = (sin² + cos²)(sin⁴ − sin²cos² + cos⁴) + a[(sin² + cos²)² − 2sin²cos²] = = ((sin² + cos²)² − 2sin²cos² − sin²cos²) + a[1− 2sin²cos²] =

	−3
= 1 − 3sin2cos2 + a −2asin2cos2 = (1+a) + (−3−2a)sin2cos2 ⇔ −3−2a = 0 ⇔ a =
	2

Artur z miasta Neptuna: tylko dla takiego 'a' funkcja f(x) nie będzie zależna od (x) ... czyli będzie funkcją stałą

ewa: sin⁶x+cos⁶x=(sin²x)³+(cos²x)³=... Korzystam ze wzoru a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²) ...=(sIn²x+cos²x)(sin⁴x+cos⁴x−sin²xcos²x)=sin⁴x+cos⁴x−sin²xcos²x=( sin²x)²+(cos²x)² −sin²xcos²x=... tu korzystam ze wzoru a²+b²=(a+b)²−2ab ...=(sin²x+cos²x)²−2sin²xcos^x−sin²xcos²x=1−3sin²xcos²x Podobnie : a(sin⁴x+cos⁴x)=a[(sin²x+cos²x)²−2sin²xcos^x]=a(1−2sin²xcos²x) Zatem f(x)=1−3sin²xcos²x+a(1−2sin²xcos²x)=1+a−(3+2a)sin²xcos²x

	3
Zeby funkcja była stała to część z x musi się zerować, czyli 3+2a=0, stąd a=−
	2

rybson: i ta stała wartość to bedzie 0 czyli sin⁶+cos⁶=a(sin⁴+cos⁴) czy tak? dobrze zrozumiałem?

rybson: ?