średnia geometryczna wjmm: Udowodnij, że średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny, ma długość równą średnie geometrycznej długości podstaw trapezu. Taka średnica to musi być wysokością tego trapezu. Czyli jeśli przyjmiemy sobie, że wysokość to h, a postawy a i b, to po wykonaniu odpowiednich równań musi wyjść: h=√a*b. A mi wychodzi cały czas h=√a*b/2. Czy coś źle robię

Bogdan: Zaraz pokażę

s: dssdπsd

Bogdan: a, b − podstawy trapezu, a > b, h = 2r − wysokość trapezu i średnica okręgu wpisanego w ten trapez, c = ¹₂(a + b) − ramię trapezu Jeśli czworokąt jest opisany na okręgu, to sumy długości przeciwległych boków są sobie równe, czyli a + b = 2c W widocznym trójkącie prostokątnym EFH: |EF| = ^a−b₂ |HE| = h, |HF| = ^a+b₂ Korzystając z wzoru Pitagorasa wyznacz w tym trójkącie h.

Bogdan: Pytanie do wszystkich. Które odcinki w omawianym trapezie o podstawach a, b (a > b) mają długość równą średniej arytmetycznej długości podstaw oraz średniej harmonicznej długości podstaw.

tim: Od połówek bocznych krawędzi?

Bogdan: Tak tim, to jest odcinek o długości średniej arytmetycznej podstaw, ale w omawianym trapezie nie jedyny o tej własności, gdzie jest inny? I gdzie jest odcinek o długości średniej harmonicznej podstaw a, b.

tim: Jakbym wiedział, co to średnia harmoniczna..?

tim: Do I. Jeszcze krawędzie?

Bogdan: s_H − średnia harmoniczna n liczb liczb: a₁, a₂, ... , a_n

	n
sH =
	1a1 + 1a2 + ... + 1an

Dla dwóch liczb a, b; s_H = ^2ab_{a + b}

tim: To nie wiem

Bogdan: Tak tim, w omawianym trapezie również ramiona mają długość równą średniej arytmetycznej podstaw.

Bogdan: tim, rozwiąż następujące zadanie. Z miejscowości A do miejscowości B samochód jedzie z średnią prędkością v₁ = 20 km/h, a drogę powrotną tą samą trasę, czyli z B do A samochód pokonuje z średnią prędkością v₂ = 80 km/h. Oblicz średnią prędkość na trasie A−B−A.

tim: Proste , należy pamiętać, że w takich zadaniach, nigdy nie będzie to śr. arytmetyczna 20 i 80

	s
V =
	t

	s		s
20 =		t1 =
	t1		20

	s		s
80 =		t2 =
	t2		80

	2S		2S		2s
Vśr =		=		=		=
	t1 + t2		s   s   + 20   80		1   1   s( + )   20   80

	2		2		km
		=		= 32[		]
	1   1   ( + )   20   80		1   16		h

Czyż nie?

Bogdan: Dobrze tim. v_s = ^2*20*80_{20 + 80} = 32 A mówiłeś, że nie znasz średniej harmonicznej

tim: Bo nie znam , tzn nie wiedziałem, że to to... Bo takie zadania to konkursowe zawsze, więc trzeba umieć

Bogdan: W dowolnym trapezie odcinek równoległy do podstaw i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych ma długość równą średniej harmonicznej długości podstaw. |EF| = ^2ab_{a + b} |EH| = |HF| = ^ab_{a + b}

tim: Ciekawe , nie słyszałem nigdy

wjmm: To ja wiem jak wyznaczyć h (dokładnie jak napisałeś), ale to h nie jest średnią geometryczną

Bogdan: Rozpatrujemy trójkąt prostokątny HEF (rysunek wyżej) h = 2r, h − wysokość trapezu, r − długość promienia okręgu wpisanego w trapez rownoramienny a, b − podstawy trapezu, a > b. Z twierdzenia Pitagorasa: |HE|² = |HF|² − |EF|² h² = (^a+b₂)² − (^a−b₂)² h² = (^a+b₂ + ^a−b₂) * (^a+b₂ − ^a−b₂) h² = ab. Jeśli mamy ciąg (c_n): c₁ = a, c₂ = h, c₃ = b lub c₁ = b, c₂ = h, c₃ = a oraz spełniona jest równość: h² = ab, to ciąg (c_n) jest ciągiem geometrycznym, natomiast h jest średnią geometryczną a oraz b. wjmm wyjaśnij, co miałeś na myśli, mówiąc, że h nie jest średnią geometryczną.