zadanie z macierzą ilona: znajdź ogólny wzór na n−tą potęgę macierzy A=1−1 dla n=1, n=2, n=3 itd. Bardzo prosze o pomoc. 0 1

Krzysiek: to policz A² ,A³ i spróbuj znaleźć jakąś zależność

Godzio: 1 −1 0 1 do 2:

1 −1 0 1		1 −1 0 1		1 −2 0 1
	*		=

do 3:

1 −2 0 1		1 −1 0 1		1 −3 0 1
	*		=

Już widzimy:

1 −1 0 1		1 −n 0 1
	n =

Udowodnijmy ten wzór indukcyjnie, 1^o Sprawdzamy równość dla n = 1

	1 −1 0 1		1 −1 0 1
L =		1 =		= P

2^o Załóżmy, że dla pewnego n zachodzi:

1 −1 0 1		1 −n 0 1
	n =		, pokażemy, że:

1 −1 0 1		1 −(n+1) 0 1
	n+1 =

	1 −1 0 1		1 −1 0 1		1 −1 0 1
L =		n+1 =		n *		= korzystamy z założenia =

	1 −n 0 1		1 −1 0 1		1 −(n + 1) 0 1
		*		=		= P Co kończy dowód