trygonometria Coma13: sin⁴x + cos⁴x = m Znajdź takie wartości parametru "m" dla którego istnieją rozwiązania równania. Moje rozwiązanie: sin⁴x + cos²x*cos²x = m sin⁴x + (1−cos²x)(1−cos²x) = m po uporządkowaniu...: 2sin⁴x − 2sin²x + 1 = m stosuje podstawienie sin²x=t i otrzymuje 2t² − 2t + 1 = m Δ=4−8=−4<0 brak x₀ p=−b/2a = 1/2 q=−Δ/4a =1/2 czyli wychodzi mi ze m>=1/2 >> i TERAZ mam pytanie: jak obliczyć ograniczenie z "góry" dla "m" bo wiem że nie może być na pewno większe niż 2 bo maksymalna wartość dla sin=1 i cos=1

Coma13: tzn "m" < 2

heh: w nawiasach miałaś napisać sin a nie cos no ale to pewnie tylko ci sie zle napisało

Coma13: tzn ale później mam dobrze ...a nawiasy no to błąd w przepisywaniu

heh: ok no to tłumacze

Mickej : to znaczy ja

Bogdan: Podpowiedź. sin⁴x + cos⁴x = (sin²x + cos²x)² − 2sin²xcos²x = 1 − ¹₂sin²(2x) a więc sin⁴x + cos⁴x = m => 1 − ¹₂sin²(2x) = m sin²(2x) − 2 + 2m = 0 To jest równanie kwadratowe. Kiedy takie równanie ma 2 rozwiązania?

Mickej : heh jednak mi to troche zajmnie bo nie idzie to tak jak chciałem

Coma13: tzn Bogdan... i z tego dostane to swoje 1/2 tzn powinienembył chyba dostać... tylko ze rozpisując sin2x=2sinxcosx znowu dostane cosinusa i co z tym później

Basia: Błąd jest tutaj: 2t² − 2t + (1−m) = 0 i dopiero teraz Δ (po prawej musi być 0; Δ itd. to metoda rozwiązania równania ax² + bx + c = 0) a=2 b=−2 c=1−m Δ=(−2)² − 4*2(1−m) = 4 − 8 +4m = 4m−4 = 4(m−1) Δ>0 ⇔ m−1>0 ⇔ m>1 ale to jeszcze nie wszystko ponieważ t=sin²x ⇒ 0≤ t ≤1 czyli przynajmniej jeden pierwiastek musi spełniać te warunki

	2−2√m−1		1−√m−1
t1 = U{2−√4(m−1){4} =		=
	4		2

	1+√m−1
t2 =
	2

1−√m−1		1−√m−1
	≥0 i		≤1
2		2

lub

1+√m−1		1+√m−1
	≥0 i		≤1
2		2

1−√m−1≥0 i 1−√m−1≤2 lub 1+√m−1≥0 i 1+√m−1≤2 −√m−1≥−1 i −√m−1≤1 lub √m−1≥−1 i √m−1≤1 √m−1≤1 i √m−1≥−1 lub √m−1≥−1 i √m−1≤1 to to samo co poprzednie czyli: √m−1≥−1 i √m−1≤1 √m−1 zawsze jest większy od −1 czyli zostaje: √m−1≤1 0≤m−1≤1 1≤m≤2 ale było przedtem m>1 czyli razem 1<m≤2 czyli m∈(1;2>

Bogdan: Odpowiedz Como najpierw na pytanie: kiedy równanie kwadratowe ma 2 rozwiązania?

Coma13: tzn z tą Δ i m to zmasakrowałem... ale nadal mi się wydaje ze to jest coś nie tak... bo jeśli jest dobrze to znaczy ze jest x spełniający równanie sin⁴x = cos⁴x = 2 a tak patrze na wykresy funkcji w zbiorze wzorów maturalnych mi się nie wydaje to możliwe bo przecież wykresy sin i cos są przesunięte względem siebie...

Coma13: no kiedy Δ > 0

Coma13: tzn sin⁴x + cos⁴x = 2

Coma13: nie przecież to jest NIE możliwe żeby sin⁴x + cos⁴x = 2.... a przynajmniej nie w geometrii Euklidesowej (jak dla mnie)

Basia:

	π
A dla kąta x=		liczyłaś ? Jak nie to policz !
	4

Basia: Nie to też nie sorry ! Mnie też się to nie zgadza ! Myślę !

Bogdan: To zróbmy tak: 1 − ¹₂sin²(2x) = m Narysuj wykres y = ¹₂sin²(2x) + 1 Teraz wyobraź sobie prostą y = m (wykres funkcji stałej) przesuwającą się wzdłuż osi y od −∞ do +∞. Zauważ takie położenia tej prostej, kiedy ona ma punkty wspólne z wykresem y = ¹₂sin²(2x) + 1 To będzie szukany przedział dla m.

Basia: Z postaci, do której Bogdan doprowadził to wychodzi dobrze, ale nie wiem gdzie tu jest błąd !

Coma13: dla π/4 otrzymamy sin⁴x + cos⁴x = 1/2 (to moje 1/2 co policzyłem, jednak ja jestem facetem, w szkole mam ksywkę "Przecinek" )

Bogdan: Odp. m € <¹₂, 1>

Coma13: tzn "m" jest parametrem a Ty ten parametr wrzuciłaś do Δ może trzeba jednak go zostawić po prawej stronie..?

Coma13: Bogdanie a co jest źle w rozwiązaniu Basii ? Dlaczego Jej nie wyszło ?

Basia: Nie! Bogdan ma zupełnie inną postać sin²(2x) − 2 + 2m = 0 tu w ogóle nie liczysz Δ sin²(2x) = 2−2m 0 ≤ 2−2m ≤1 2m≤2 i 2m≥1

	1
m≤1 i m≥
	2

Coma13: Dobra przynajmniej mam odpowiedź.... nie do końca to kapuje ale wielkie dzięki...a i nie chciałem denerwować...

Bogdan: Tak jest Basiu ani Δ, ani nie rozpisujemy sin2x

Basia: A ja się "rąbnęłam" przy Δ Δ=(−2)² −4*2*(1−m) = 4 − 8 + 8m = 8m − 4 8m−4≥0 8m ≥ 4

	1
m≥
	2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √Δ = √8m−4 = √4(2m−1)=2√2m−1

	2−2√2m−1		1−√2m−1
t1 =		=
	4		2

	1+√2m−1
t2 =
	2

dalej tak jak poprzednio

Tymon: Problemem jest to ze nie zrobiles Coma założeń co do t. Gdyż t może być tylko od <0,1> wtedy obliczasz wartość funkcji dla 0, 1 (skrajne punkty) oraz dolu paraboli czyli q co wyszlo słusznie 1/2. Gdy podstawisz do funkcji 0 lub 1 wartość wynosi 1 wiec zw € <1/2, 1>