łańcuch Markowa Basia: Artur z miasta Neptuna Jesteś chyba na bieżąco z zagadnieniami z procesów stochastycznych. Nie chodzi mi o rozwiązanie, zresztą nie pamiętam dokładnie treści, ale spotkałam się z takim mniej więcej zadaniem: Rzucamy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) w piątym rzucie wyrzucimy szóstkę b) w piątym rzucie wyrzucimy szóstkę jeżeli w czwartym wypadła 4 c) w piątym rzucie wyrzucimy szóstkę jeżeli przedtem wypadły 2,4,3 W treści wyraźnie zaznaczono, że należy uzasadnić, że mamy do czynienia z łańcuchem Markowa i wykorzystać ten fakt do rozwiązania zadania. O ile pamiętam z łańcuchem Markowa mamy do czynienia gdy wynik doświadczenia n zależy tylko od wyniku doświadczenia n−1. No i mam wątpliwości: 1. rzuty kostką są zdarzeniami niezależnymi więc wynik doświadczenia n nie zależy także od wyniku doświadczenia n−1 dlaczego więc łańcuch Markowa ? 2. co ma do rzeczy fakt, że przedtem (czyli w rzutach n−3 i n−2, to wynikało z treści) wypadły 2 i 4 nawet jeżeli to jest łańcuch Markowa ? Chodzi mi tylko o wyjaśnienie tych wątpliwości.

Basia: podbijam

Artur z miasta Neptuna: czuję, że to jest robienie maszynerii dla maszynerii: niech X₁, X₂, .... − ciąg zm. losowych opisująca kolejne wynik losowania Oznaczmy: P(X_n = s_i) = p_i(n) , dla i=1,2,3,4,5,6 p₆(n) = P(X_n=s₆|X_n−1 = s₁)*P(X_n−1 = s₁) + P(X_n=s₆|X_n−1 = s₂)*P(X_n−1 = s₂) + ... + P(X_n=s₆|X_n−1 = s₆)*P(X_n−1 = s₆) = p₁₆*p₁(n−1) + p₂₆*p₂(n−1) + ... +

	1		1		1		1		1
p66*p6(n−1) =		*		+ .... +		*		=
	6		6		6		6		6

gdzie: p_ij oznacza prawdopodobieństwo 'przejścia' z wyniku j na i ... w przypadku kostki

	1
jest stałe i wynosi		(co mogło w zadaniu wyglądać inaczej −−− prawdopodobieństwa mogły
	6

być inne)

Basia: Dziękuję bardzo. Miałam takie samo odczucie, ale chciałam się upewnić.

	1
Odpowiedziałam bowiem z marszu i bez zastanowienia, że		niezależnie od tego, który to
	6

rzut, co tam miało wypaść i tego co wypadło wcześniej, a co gorsze dołożyłam swoją opinię o tym zadaniu Łagodnie mówiąc nie była pochlebna No a potem zaczęłam się wahać, bo ostatni raz z procesami stochastycznymi miałam do czynienia na piątym roku studiów, a to było bardzo, bardzo dawno temu.

Artur z miasta Neptuna: ponadto:

	1
skoro jest to łańcuch Markowa, to piszesz macierz przejść (6x6 wypełnione samymi		) i
	6

piszesz, że {X_n} jest jednorodnym łańcuchem Markova, a co za tym idzie P{X_n+m = s_i | X_m = s_j} = P{X_n = s_i | X₀ = s_j} Czyli ... otrzymanie 6 w piątym rzucie, gdy wypadła 4 w czwartym = wypadnięcie 6 w drugim, gdy wypadła 4 w pierwszym Wybacz ... zmiana oznaczeń −−− X₀, X₁ to łańcuch Markowa (chyba zawsze od 0 się zaczynało) dla mnie sama idea robienia z tego łańcuchu Markowa jest strasznie dziwna i dlatego ciężko mi cokolwiek tu napisać ... może wykładowcy chodziło o sprawdzenie, jak rozumiecie podstawowe założenie łańcucha Markowa (wartość elementu zależy tylko i wyłącznie od wartości poprzedzającego go elementu)

Basia: Nie mam pojęcia co wykładowca miał na myśli (to zadanie dziecka mojej sąsiadki) Dla mnie po prostu używanie tutaj łańcucha Markowa nie ma sensu, chociaż oczywiście jest to łańcuch Markowa, bo wszystkie warunki są spełnione (chyba są; w definicji zdaje się nie ma zwrotu "zależy tylko od....", bo to już byłby problem; jest chyba zwrot "zależy co najwyżej od..." i wtedy problemu nie ma, mamy ten łańcuch, tylko PO CO ?). Wiem, że rozdzielam włos na czworo, ale ścisłość sformułowań ma tu jednak znaczenie.

Artur z miasta Neptuna: Basiu ... gdyby tak dobrać prawdopodobieństwa ... że kolejne losy (czy co tam chcemy) były niezależne, ale prawdopodobieństwa 'przejść' ze stanu do stanu nie były równe sobie, to wtedy łańcuch Markowa byłby jak znalazł. W przypadku kostki, jak najbardziej się zgadzam ten pierwszy zapis −−− to po prostu 'na chama' chciałem pokazać, jak policzyć prawdopodobieństwo, wykorzystując własność łańcuchu Markowa ... na cholerę to ... to nie wiem na ostatni podpunkt sama odpowiedziałaś

	1
natomiast: w (b) wychodzi: P(X6 = 5 | X4 = 4) =		co wynika wprost z definicji
	6

prawdopodobieństwa warunkowego

Artur z miasta Neptuna: a mogę się zapytać −−− z jakiej uczelni

Basia: Rozwiałeś moje wątpliwości ostatecznie i dziękuję, bo oczywiście najpierw powiedziałam, a potem zaczęłam się jednak obawiać, że to było coś głupiego i sąsiad skompromituje się na zajęciach (a ja przy okazji).

Basia: Uniwersytet Śląski.