MOŻE KTOŚ ZAJRZEĆ? Elka: MoŻE KTOŚ ZAJRZEĆ I ROZWIĄZAĆ NIE POTRAFIĘ...:( Oblicz objętość czworościanu ABCD , jeżeli I AB I = 2 cm , I AC I = I AD I = I BC I = I BD I = 3 cm, a I CD I = 5cm.

Basia: Podbijam. Kto rozwiąże ?

...:

Mariusz: czy wysokosć ostrosłupa będzie w środku okręgu opisanego na podstawie

b.: Tu jest dużo trójkątów równoramiennych, co upraszcza sprawę... ...można zrobić np. tak: niech E będzie środkiem AB. Możemy łatwo policzyć długość |DE| (rozważając trójkąt ABD) oraz |CE| (rozważając ABC). Spodek wysokości czworościanu opuszczonej z D leży na odcinku CE. Mamy trójkąt CED, w którym znamy długości wszystkich boków. Możemy więc policzyć długość wysokości opusczonej z D, która jest równa wysokości czworościanu... Idę o zakład, że Bogdan zrobi prościej

Basia: Nie wiem ! Mam problem z tym zadaniem !

Basia: Prościej chyba się nie da ! Gratuluję b.

Mariusz: świetnie rozwiązane Gratulacje

b.: He he, ale w tym moim ,,rozwiązaniu'' nie ma żadnych rachunków

Basia: No rachunki to "małe piwo". Wysokości DE i CE tr.równoramiennych z Pitagorasa. Pole ECD z Herona. Stąd i "zwykłego" wzoru na pole wysokość DD₁.

Basia: b. zajrzyj jeszcze do 13381. Z kątami dwuściennymi jestem zdecydowanie "na bakier".

xpt: O! To znaczy Basiu, że Ty czegoś nie wiesz ? ;)

AnŻ: A na moje oko wychodzi trapez...

AnŻ: trapez równoramienny

Basia: Nienawidzę kątów dwuściennych ! Ja ich po prostu nie widzę !

Basia: Jaki trapez ? Tu nie ma żadnego trapezu !

Bogdan: Dzień dobry. Nikt jeszcze nie podał rozwiązania zadania, więc nie można na razie szukać prostszych rozwiązań. Podałeś b. ścieżkę dostępu do rozwiązania, zresztą przy tej liczbie i rodzaju danych ta ścieżka narzuca się. Sądzę, że jest to najlepsza ścieżka, diabeł jednak jak zwykle tkwi w szczegółach. Tym szczegółem jest wysokość H ostrosłupa. Najprostsze wyznaczenie długości tej wysokości będzie jednocześnie najprostszym rozwiązaniem zadania. Jak więc najprościej wyznaczyć długość H? Proszę o przedstawianie wszystkich obliczeń.

Coma13: Trójkąt ABC w podstawie ma identyczne wymiary jak ściana boczna ABD... policzę więc wysokość podstawy ( "b." zaproponował żeby środek AB chyba oznaczać jako E) więc liczymy z Pitagorasa trójkąt EBC → h_AB²+(^AB₂)²=3² h_AB² = 3² − 1² = 8 ⇒ h_AB = 2√2 Dostajemy trójkąt równoramienny CED którego pole możemy policzyć P=CE*H/2 = CD*DE*sin(CDE)/2 ⇒ CE=ED a CD=5 otrzymujemy H=5*sin(CDE) sinus kąta (CDE) obliczymy z cosinusa, którego policzymy z twierdzenia cosinusów...: (2√2)² = (2√2)² + 5² − 2*5*2√2cos(CDE) ⇒ 0 = 25 − 20√2cos(CDE) ⇒ cos(CDE) = −25/−20√2 ⇒cos(CDE) = 5/(4√2) = 5√2/8 sin²(CDE) = 1 − cos²(CDE) = 1 − 50/64 = 14/64 sin(CDE) = √14/8 H=5*sin(CDE)= 5√14/8 ....poprawcie mnie jeśli się myle

Coma13: bo jeżeli H mam dobrze to pole podstawy można zapisać z Herona i V=1/3 * P_p * H

Bogdan: Coma13 − Wynik jest dobry, ale można wyznaczyć długość H prościej, bez stosowania miar kątów i bez trygonometrii. Pole podstawy nie potrzeba obliczać z wzoru Herona, bo masz długości AB i EC.

Coma13: No z polem podstawy to prawda ze mam wysokość... a jak można policzyć to H prościej?

Bogdan: Na razie nie podam propozycji prostszego wyznaczenia długości H, bo chcę zobaczyć rozwiązania innych, może wśród nich będzie to najprostsze. Zaręczam jednak, że jest prosty sposób na wyznaczenie długości H i w Twoim Como13 rozwiązaniu między wierszami można ten sposób znaleźć.

Coma13: szczerze nie wiem ale za jakiś czas zobaczę co wymyśliłeś... ;−)

Coma13: Bogdanie widzisz że nie ma innych propozycji...wiec mógłbyś napisać jak można skrócić to rozwiązanie.... będę bardzo wdzięczny

Zajączek wielkanocny: przyniósł prezent Comie i Bogdanowi h_ABC = CC₁ = √9−1 = √8 = 2√2 h_ABD = DC₁ = √9−1 = √8 = 2√2 C₁C₂ wysokość CC₁D wyprowadzona z C₁

	25		32−25		√7
|C1C2|=√8−		= √		=
	4		4		2

	1		5√7
PCC1D =		*5*U{√7{2} =
	2		4

	1
PCC1D =		*CC1*DE
	2

5√7		1
	=		*2√2*DE
4		2

5√7
	=√2*ED
4

	5√7		5√14
ED =		=
	4√2		8

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Wesołych świąt !

Coma13: no tez tak można... dzięki

Bogdan: Dziękuję zajączku wielkanocny. Twoje obliczenia można uprościć. Przyjmując oznaczenia zajączka wielkanocnego: C₁ − środek krawędzi AB C₂ − środek krawędzi CD |C₁C₂| = ¹₂√7 |C₁C| = 2√2 oraz H − wysokość ostrosłupa opuszczona z wierzchołka D na podstawę ABC. Nie potrzeba obliczać pola trójkata C₁CD, wystarczy stwierdzić: |C₁C|*H = |CD|*|C₁C₂| czyli 2√2H = 5 * ¹₂√7 stąd H = ^5√7_4√2 To jest odpowiedź Comie13 o sposobie wyznaczenia długości H. Wróćmy do treści zadania. mamy wyznaczyć objętość podanego czworościanu. Nie chciałbym b., żebyś przegrał zakład. Można obliczyć objętość tego czworościanu bez wysokości H. Nie potrzeba wyznaczać długości H i można obliczyć objętość czworościanu. Potrzebna do objętości wysokość (i to nie jedna, ale nie H) jest już podana w zadaniu. Istnieje więc inny i prostszy sposób na obliczenie objętości czworościanu. Na razie jednak wstrzymam się z podaniem tego sposobu i zapraszam wszystkich do jego odkrycia. Przedstawię rozwiązanie tego zadania nowym sposobem po świętach. Życzę miłej i odkrywczej zabawy.

Coma13: Bogdan mógłbyś przegrać...Zajączek by się ucieszył przynajmniej, nie można go zasmucać w czasie świąt

Bogdan: Ja się z nikim nie zakładałem, więc nie przegram. Przegrałby ten, kto założyby się z b.. A swoją drogą, to niezła frajda nie tyle rozwiązywać zadania, co znajdować najprostsze rozwiązania.

Coma13: b. rozpisał nieformalny konkurs na najprostsze rozwiązanie...jak dla mnie nadal najprostszym jest moje, gdyż...nie wymaga myślenia tylko przepisywania i podstawiania do wzorów...ale napisane jest "szukajcie a znajdziecie"

Bogdan: Dzień dobry. Zobowiązałem się przedstawić najprostsze rozwiązanie zadania po świętach. Mamy wyznaczyć objętość V czworościanu, w którym: |AB| = 2, |AC| = |BC| = |AD| = |BD| = 3, |CD| = 5. |ED| = |EC| = 2√2 Nasz czworościan wygląda mniej więcej tak, jak na tym rysunku. Kąt DEC przy podanych długościach krawędzi jest rozwarty, chociaż dla wyznaczenia objętości V czworościanu nie ma to znaczenia. Spodek F wysokości DF czworościanu leży na prostej zawierającej wysokość EC podstawy ostrosłupa. Krawędź AB jest prostopadła do odcinka EC. P_ΔDEC = ⁵₄√7 to pole powierzchni trójkata DEC będącego przekrojem ostrosłupa wyznaczone wzorem Herona: P_ΔDEC = √ (2√2 + 5/2) * (5/2) * (5/2) * (2√2 − 5/2) = ⁵₄√7 Można też wyznaczyć wartość tego pola tak zrobił to zajączek wielkanocny. Płaszczyzna zawierająca trójkąt DEC jest prostopadła do płaszczyzny zawierającej podstawę ostrosłupa ABC. |AB| = 2 to długość krawędzi podstawy ostrosłupa Objętość czworościanu V = ¹₃ * P_ΔDEC * |AB| => V = ¹₃ * ⁵₄√7 * 2 = ⁵₆√7 Jak widzimy, nie było potrzeby wyznaczania długości wysokości ostrosłupa DF, bo rolę podstawy ostrosłupa spełnił tu trójkąt DEC, a rolę wysokości − krawędź AB. Tak zresztą można wyznaczać objetości innych czworościanów. Trzeba wyznaczyć pole powierzchni P_Δ określonego przekroju ostrosłupa i wziąć do obliczeń długość tej krawędzi a czworościanu, która jest prostopadła do wybranego przekroju: V = ¹₃ * a * P_Δ