indukcja matematyczna. Kaśka: POMOCY! Udowodnić, że dla liczb naturalnych n>1

1		1		1		13
	+		+...+		>
n+1		n+2		2n		24

Basia: to już było nie tak dawno; poszukaj

Kaśka: nie ma ..

Basia: w archiwum szukaj

Kaśka: wpisałam polecenie by wyszukać tą treść ale akurat tego nie ma

Basia: n = 2

	1		1		1		1		4+3		7		14		13
L=		+		=		+		=		=		=		>
	2+1		2+2		3		4		12		12		24		24

	1		1		1		13
Z:		+		+....+		>
	n+1		n+2		2n		24

1

1

1

1

1

13

T:

+

+....+

+

+

>

n+1

n+2

2n

2n+1

2n+2

24

dowód:

1		1		1		1		1
	+		+....+		+		+		>
n+1		n+2		2n		2n+1		2n+2

13		1		1		13
	+		+		>
24		2n+1		2n+2		24

	1		1
bo		+		>0
	2n+1		2n+2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− jesteś pewna, że dobrze przepisałaś ? przecież to dziecinnie proste (o wiele za proste!)

Kaśka: ech racja teraz jak mi to przedstawiłaś w całości to łatwe się zdaje.Dzięki za pomoc.

Kaśka: a w tym byś mi pomogła?

	x   1   cos −cos(n+ )x   2   2
sinx+sin2x+...+sinnx=
	x   2sin   2

Basia: Kasiu pomyliłam się w tezie; powinno być tak: T:

1		1		1		1		1		13
	+		+....+		+		+		>
n+2		n+3		2n		2n+1		2n+2		14

dowód

1		1		1		1		1
	+		+....+		+		+		=
n+2		n+3		2n		2n+1		2n+2

1

1

1

1

1

1

1

+

+

+....+

+

+

−

>

n+1

n+2

n+3

2n

2n+1

2n+2

n+1

13		1		1		1
	+		+		−
14		2n+1		2n+2		n+1

i pokazujemy, że

	1		1		1
		+		−		> 0
	2n+1		2n+2		n+1

	1		1		1
		+		−		=
	2n+1		2n+2		n+1

	1		1		1
		+		−		=
	2n+1		2(n+1)		n+1

2(n+1)		2n+1		2(2n+1)
	+		−		=
2(2n+1)(n+1)		2(2n+1)(n+1)		2(2n+1)(n+1)

2n+2+2n+1−4n−2		1
	=		> 0
2(2n+1)(n+1)		2(2n+1)(n+1)

Basia: teraz muszę kończyć; może później

Kaśka: ok,dzieki

Kaśka:

	13		13
napisałaś		a nie powinno byc		? jak wczesniej podałam?
	14		24

Basia:

	13
tak oczywiście		to już tylko literówka
	24

Kaśka: to dobrze

Kaśka: to jak Basiu pomożesz mi w tym drugim zadaniu?

Basia: to drugie to też indukcja 1. n = 1 L = sinx

	cosx2 − cos3x2
P =
	2sinx2

= −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x		3x		4x
	+		=		= 2x
2		2		2

x		3x		−2x
	−		=		=−x
2		2		2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−2sinx*sin(−x2)		2sinx*sinx2
	=		= sinx
2sinx2		2sinx2

L=P 2.

	cosx2−cos(n+12)x
Z: sinx+sin2x+....+sin(nx) =
	2sinx2

	cosx2−cos(n+32)x
T: sinx+sin2x+....+sin(nx)+sin[(n+1)x ]=
	2sinx2

dowód: L=sinx+sin2x+....+sin(nx)+sin[(n+1)x ]=

cosx2−cos(n+12)x
	+sin[(n+1)x] =
2sinx2

cosx2−cos(n+12)x+2sinx2*sin[(n+1)x]
	=
2sinx2

........................................................................................... ^α+β₂ = (n+1)x ^α−β₂ = ^x₂ α+β = 2(n+1)x α−β = x −−−−−−−−−−−− 2α = (2n+2+1)x = (2n+3)x α=^(2n+3)x₂ = (n+³₂)x β = α−x = (n+³₂)x − x = (n+¹₂)x 2sin^x₂*sin[(n+1)x] = −[ cos[(n+³₂)x]−cos[(n+¹₂)x] ] = −cos[(n+³₂)x]+cos[(n+¹₂)x] ] = ............................................................................ ........................

	cosx2−cos(n+12)x−cos[(n+32)x]+cos[(n+12)x]
L =		=
	2sinx2

cosx2−cos[(n+32)x]
2sinx2

c.b.d.o.

Kaśka: ojej,strasznie nie do ogarnięcia..

Basia: nie takie straszne; raczej żmudne; analizuj krok po kroku

Kaśka: a co te kreski oznaczają?

Basia: −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− dodaję równania stronami ............................................... wstawka; liczę sobie "na boku" jakich kątów muszę użyć i dopiero potem wracam do liczenia L ..............................................

Kaśka: aha dzięki,teraz rozumiem dlaczego wszystkiego tak dużo wyszło,dzieki

Kaśka: analizuje wszystko,ale nie rozumiem już w 1 podp. dlaczego z cos się zrobił sinus? skorzystałaś z jakiegos wzoru? przeciez nie z jedynki tryg. ?.. skąd ten licznik −2sinx*sinx(−^x₂) ?