Udowodnić że kolargol: Udowodnić że: (2n)! ! ≤(n+1)ⁿ Niewiem jak to zrobić siedze i myśle i nie moge wymyśleć ... ale co zrobisz bok se wyrwiesz lepiej poprosić ekspertów o pomoc

kolargol: hej pomoże ktoś ?

kolargol:

Artur z miasta Neptuna: dowód poprzez indukcję matematyczną (a co mi tam) 1^o n=1 2! ! = 2 ≤ 9 = 3² 2^o n=k (2k)! ! ≤ (k+1)^k 3^o n=k+1 (2k+2)! ! = (2k) ! ! * (2k+2) ≤ (k+1)^k *(2k+2) = 2*(k+1)^k+1 ≤ (k+2)^k+1 czy:

	(n+1)n
2nn ≤ (n+1)n czyli, czy: 2 ≤
	(n)n

z dwumianu newtona wiesz, że:

	n 0		n 1
(a+b)n =		anb0 +		an−1b1 + .....

więc: (n+1)ⁿ = nⁿ+ n*nⁿ⁺¹ + .... > nⁿ + nⁿ = 2nⁿ więc:

	2(n)n		(n+1)n
2 =		≤
	(n)n		(n)n

czyli czerwony znak nierówności jest prawidłowy

kolargol: dla n = 1 (n+1)ⁿ = 9

Artur z miasta Neptuna: wybacz ... z rozpędu podstawiłem n=2 po prawej stronie n=1 (1+1)¹ =2

kolargol: ale takie pytanie do dwumianu newtona:

	n 0		n 1
znam to co mi napisałeś dla pomocy czyli (a+b)n =		an*b0+		an−1*b1

więc skoro odejmujemy jedynkę dlaczego niżej n*nⁿ⁺¹ nie powinno być n*nⁿ⁻¹ ?

kolargol: dlaczego niżej jest .... (miało być )

kolargol: ?

Artur z miasta Neptuna: miała być −1 ... błąd w pisaniu

Artur z miasta Neptuna: zwłasza, że n*nⁿ⁻¹ = nⁿ

kolargol: aha to dziękuję ale miałbym prośbe czy umiałbyś to w nie indukci udowodnić . Już mówię dlaczego siedziałem przytym ponad 3 godziny i nie wiem jak to wytłumaczyć i gryzie mnie to. to zrobiłem (ale niewiem czy tak wogóle trzeba robić ) : L=(2n)! ! = 2*4*6*...*2n

	n 0		n 1		n n
P= (n+1)=		nn +		nn−1 + ... +

2*4*6* ..*2n ≤ n*nⁿ + n*n⁻1 + ... + 1

kolargol:

Artur z miasta Neptuna: 2*4*6*...*2n! = 2ⁿ*n! = 2ⁿ*(1*2*3*....*n) 1^o niech n = 2k − 1 (czyli n jest nieparzysta) wtedy:

	n+1
k =		jest wyrazem 'środkowym'
	2

1 = k − (k−1) 2 = k − (k−2) 3 = k − (k−3) .... k−1 = k − (k−k+1) = k − 1 k = k − (k−k) = k k+1 = k + (k−k+1) = k+1 ... 2k−2 = k + (k−2) 2k−1 = k+ (k−1) = n więc n! = (k − (k−1))*(k − (k−2))*....*(k−1)*k*(k+1)*....*(k + (k−2))*(k + (k−1)) = = (k² − (k−1)²)*(k² − (k−2)²)* ... *(k² − 1²)*k ≤ k²*k²*k²*....*k²*k = kⁿ =

	n+1
= (		)n
	2

czyli:

	(n+1)n
2n * n! ≤ 2n *		= (n+1)n
	(2)n

2^o niech n=2k (n jest parzysta) wtedy:

	n
k =
	2

1 = k − (k−1) 2 = k − (k−2) 3 = k − (k−3) .... k −1 = k−1 k = k − (k−k) = k k+1 = k+1 ... 2k−2 = k + (k−2) 2k−1 = k+ (k−1) 2k = k + k więc n! = (k − (k−1))*(k − (k−2))*....*(k−1)*k*(k+1)*....*(k + (k−2))*(k + (k−1))*(k+k) = = (k² − (k−1)²)*(k² − (k−2)²)* ... *(k² − 1²)*k*(2k) ≤ k²*k²*k²*....*k²*k*2k = kⁿ*2 =

	n
= (		)n*2
	2

czyli:

	(n)n
2n * n! ≤ 2n *		*2 = (n)n*2
	(2)n

i patrz dowód na to, że 2(n)ⁿ ≤ (n+1)ⁿ

Artur z miasta Neptuna: innymi słowy −−− dzielę wyrazy na równo odległe od wartości 'środkowej' (dla n nieparzystego, dla parzystego jest to mniejsza ze 'środkowych) i mnożę je pomiędzy ze sobą, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia: (k − l)(k+l) = k² − l² ... ≤ k² ... a ta nierówność chyba jest jasna i nie trzeba jej wyjaśniać.

Artur z miasta Neptuna: daj 'znak sygnał' czy wszystko jasne

kolargol: czy to jest równe (2n)! ! bo np dla n=4 wychodzi mi (2n)! ! = 2*4*6*8 2*4*6*...*2n! =2*4* 2*(1*2*3*4)= 2*4*2*4*6*8 więc to by nie było równe chyba że nie rozumiem dobrze podwójnej silni to poszę rozpisz mi jak powinno wyglądać dla n=4

kolargol: znaczy pisząc czy to jest równe (2n) ! ! mam na mysli pierwszą linijkę w twojej odpowiedzi

Artur z miasta Neptuna: (2n)! ! = 2 * 4 * 6 * ... * (2n−2) * 2n = 2*1 * 2*2 * 2*3 *... *2*(n−1)*2*n = 2ⁿ*(1*2*3*...*n) = 2ⁿ*n! skoro 8 = 2*4*6*8 = 2⁴ *1*2*3*4 ... nie wiem czemu Ty tam masz jeszcze '2*'

kolargol: tak to wiem tylko tego nie moge zrozumieć w pierwszej linijce z samego przegu 2*4*6*...*2n! czy nie powinno być: 2*4*6*...*2n=

kolargol:

kolargol: ?

kasia: ?

Artur z miasta Neptuna: ojjj bez ! na końcu

kasia: pisząc niech n = 2k−1 sam sobie to o tak wymyśliłeś czy z czegoś to wynikło

kolargol: no ja też właśnie się o to chcę zapytać

Artur z miasta Neptuna: kasiu/kolargol .... ale co sobie wymyśliłem ? że n = 2k−1 to jest sztandarowe oznaczenie określające, że niewiadoma 'n' jest liczbą NIEPARZYSTĄ

kolargol: dobrze ale piszesz 1=k−(k−1) 2=k−(k−2) a 2 jest już parzyste

Artur z miasta Neptuna: ty nie rozumiesz ja liczby od 1 do n zapisuję za pomocą 'k' a te liczby (od 1 do n), a raczej ich iloczyn = n!, który w ten sposób oszacuję z góry coś czuję, że nie widzisz/rozumiesz tego ... weź przejrzyj ten dowód przez indukcję − on jest łatwiejszy.

kolargol: już zrozumiałem dzięki. a teraz pomóż mi zrozumieć dowód indukcyjny . niewiem o co z tym chodzi: 3o n=k+1 ...... = 2*(k+1)^k+1 ≤ (k+2)^k+1 // rozumiem że tu sobie tak założyłeś a tu nagle napisałeś czy: 2nⁿ ≤ (n+1)ⁿ // a tu nagle te 2nⁿ

kolargol: a zresztą czy tak można napisać nie udowadniając że 2*(k+1)^k+1 ≤ (k+2)^k+1 (to tak gołym okiem nie widać) no nieweim może źle piszę dlatego proszę cię o wytłumaczenie

kolargol: artur rozumiem sprawdzam czy (n+1)ⁿ jest większe od 2nⁿ bo to jest większe od (2n)! ! i jeżeli jest większe to napewno jest większe od 2n ! ! wszystko ładnie mi wychodzi. Ale po co napisałeś że 2*(k+1)k+1 ≤ (k+2)k+1 przecież to do niczego nie służy te (k+2)k+1 i nic nam nie daje ?

Artur z miasta Neptuna: to co poniżej zapisałem: czyli: 2nⁿ ≤ (n+1)ⁿ to w tym miejscu zrobiłem dowód na to, że: 2(k+1)^k+1 ≤ (k+1+1)^k+1 = (k+2)^k+1 ... (bo n=k+1) ... zresztą n jest dowolne

Artur z miasta Neptuna: dlatego też ten ostatni '≤' jest w kolorze czerwonym ... bo tego 'nie wiem' ... i dlatego poniżej robiłem dowód tejże nierówności