logarytmy Tomasz: Określ zbiór wartości funkcji f(x)=log₂x * log₈x − log₄x. Nie mam pomysłu jak to uprościć. Po zmianie podstaw na 4 otrzymałem log₄x(2/3*log₄x −1) Oczywiście zał: x>0 Ma ktoś pomysł?

Bogdan: Zapisz wszystkie logarytmy z podstawą 2

Tomasz: Zamieniałem. Wychodzi: (2(log₂x)² − 3log₂x)/6 ?

Basia: Spróbujmy na "chłopski" rozum.

Basia: log₂x=a ⇔ 2^a=x log₈x=b ⇔ 8^b=x log₄x=c ⇔ 4^c=x (to z definicji logarytmu) stąd: 2^a = 8^b = 4^c 2^a = (2³)^b = (2²)^c 2^a = 2^3b = 2^2c a=3b

	a
b =
	3

	log2x
log8x =
	3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a = 2c

	a
c =
	2

	log2x
log4x =
	2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− czyli zgadza się mamy to samo do czego doszedłeś

	2(log2x)2 − 3log2x		2*log2x*log2x − 3log2x
f(x) =		=
	6		6

	log2x
f(x) =		*(2log2x − 3)
	6

3 = log₂8

	log2x
f(x) =		*(2log2x − log28)
	6

	log2x
f(x) =		*(log2x2 − log28)
	6

	log2x		x2
f(x) =		*log2
	6		8

x∈(0;+∞) musisz teraz obliczyć granice lim (x→0⁺) f(x) i lim(x→+∞)f(x)

Tomasz: Dzięki. No rzeczywiście. Ma to sens. Aczkolwiek raczej na pewno da się to zrobić bez obliczania granicy. Są to zadnia przygotowujące do matury, na której (nie wiem czy wiesz) nie ma już granic... Niedługo zostanie dodawanie i odejmowanie w zakresie 0−100 ... straszne. Ale dzięki raz jeszcze za rozwiązanie i pozdrawiam!

Bogdan: Wydaje mi się, ze to zadanie trzeba rozwiązać bez stosowania granic, korzystając z materiału dostępnego w obecym programie nauczania w szkole średniej.

Basia: No to bez granic ! t = log₂x

	2t2−3t		1		1
f(t) =		=		t2 −		t
	6		3		2

	1
a=
	3

	1
b=−
	2

c=0 a>0 ⇒ ramiona paraboli do góry ⇒

	−b		12		3
tmin=tw =		=		=
	2a		23		4

	1		9		1		3		3		3
ymin=f(tmin)=		*		−		*		=		−		=
	3		16		2		4		16		8

3		6		3
	−		=−
16		16		16

wartości max nie ma f(t) → +∞

	3
pytanie czy log2x =
	4

oczywiście może czyli f(x) ∈ <−³₁₆ ; +∞) o ile się nie pomyliłam w rachunkach, bo coś mi się tu nie zgadza

Basia: A nie ok. Wszystko się zgadza !

Bogdan: f(x) = log₂x * log₈x − log₄x x > 0

	log2x		log2x
f(x) = log2x *		−
	log28		log24

f(x) = ¹₃log²₂x − ¹₂log₂x podstawienie: log₂x = t f(t) = ¹₃t² − ¹₂t Wykresem f(t) jest parabola posiadająca minimum w punkcie wierzchołkowym W = (³₄, ⁻³₁₆) log₂x = ³₄ => x = 2^3₄ f(x) = ¹₃ * (³₄)² − ¹₂*³₄ = ³₁₆ − ⁶₁₆ = ⁻³₁₆ ten wynik można było od razu stwierdzić patrząc na W. Zbiór wartości funkcji f(x): ZW_f: y € <⁻³₁₆, +∞)

Tomasz: O. Dziękuję. Całkiem dobry sposób Pozdr.