Dowód - trójkąt równoboczny Jac: Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego wysokości jest równa dziewięciu promieniom koła w niego wpisanego. Zastanawiam się czy tutaj mam np. już wyjść za założenia że tak jest i narysować trójkąt równoboczny. Czy właśnie dowolny i w ten dowolny wpisać okrąg. No bo zdaje się że w przypadku równobocznego można skorzystać z tego że wysokości dzielą się w stosunku 2:1 (swoją drogą to też muszę udowodnić). Niby wiem jak to rozwiązać, ale nie wiem jak napisać taki ładny " profesjonalny dowód". Proszę o pomoc. Jac

Jac: proszę o pomoc. bardzo mi zależy.

Vax:

	2P		18P		2P
Ze wzoru r =		mamy 9r =		i oczywiste jest, że ha =		, podobnie
	a+b+c		a+b+c		a

dla h_b i h_c, więc: h_a+h_b+h_c = 9r ⇔

2P		2P		2P		18P
	+		+		=
a		b		c		a+b+c

⇔

1		1		1		9
	+		+		=
a		b		c		a+b+c

⇔

ab+ac+bc		9
	=
abc		a+b+c

⇔ (a+b+c)(ab+ac+bc) = 9abc Ale z am−gm mamy a+b+c ≥ 3³√abc oraz ab+ac+bc ≥ 3³√a²b²c², więc: (a+b+c)(ab+ac+bc) ≥ 9³√a³b³c³ = 9abc Równość zajdzie wtedy i tylko wtedy, gdy a=b=c czyli gdy dany trójkąt będzie równoboczny, qed.

Jac: dzięki vax . ty jak zawsze zjawisz się w porę i pomożesz . = ]

Jac: a tak się jeszcze zastanawiam (bo to w sumie niekonwencjonalny dowód) prościej się tego nie da zrobić ? = ] znaczy ten mi się podoba, ale z ciekawości pytam .

Vax: Być może da się to zrobić inaczej, jednak ten dowód wydaje mi się w miarę prosty

Jac: w sumie masz rację . na początku trochę mnie zmylił ale po przeanalizowaniu rzeczywiście prosty . Dzięki jeszcze raz