indukcja matematyczna kasia: oblicz za pomocą indukcji matematycznej nierówność : ∀_n∊N,n≥2 ∀_a>b>0 (a+b)ⁿ < 2ⁿ⁻¹ (aⁿ+bⁿ) dla n=2 (a+b)² < 2 (a²+b²) a² + 2ab + b² < 2a² + 2b² 2ab < a² + b² L>P dla n+1 (a+b)ⁿ⁺¹ < 2ⁿ (aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹) dowód: i niewiem jak to dalej zrobić z tym dowodem

kasia: pomocy

Godzio: _{z założenia} (a + b)^{n + 1} < 2^{n − 1}(aⁿ + bⁿ)(a + b) = = 2^{n − 1}(a^{n + 1} + abⁿ + aⁿb + b^{n + 1}) < (*) Pokażemy, że: a^{n + 1} + abⁿ + aⁿb + b^{n + 1} < 2(a^{n + 1} + b^{n + 1}) abⁿ + aⁿb < a^{n + 1} + b^{n + 1} 0 < aⁿ(a − b) + bⁿ(b − a) = aⁿ(a − b) − bⁿ(a − b) = (a − b)(aⁿ − bⁿ) Ponieważ: a > b to nierówność jest spełniona, zatem: (*) = 2^{n − 1} * 2(a^{n + 1} + b^{n + 1}) = 2ⁿ(a^{n + 1} + b^{n + 1}) Co kończy dowód

kasia: ale przecież skąd ja wiem czy (a+b)_n+1 < 2_n−1 (a_n+b_n)(a+b) przecież wczesniej nigdzie tego nie sprawdziłam

kasia: sory wszystko u góry a nie u dołu miało być

Artur z miasta Neptuna: indukcja matematyczna polega na tym, że ... 1^o sprawdzasz dla najmniejszego 'n' (w tym momencie '2') 2^o zakładasz, że jest to prawda dla jakiegoś n (piszesz n= k i po prostu przepisując zamieniając wszędzie 'n' na 'k') 3^o badasz czy prawdą będzie dla n=k+1 ... czyli dla następnego 'n' ... wykorzystując zapis z punktu 2^o w efekcie ... 'k' jest DOWOLNE (czyli także k=2) skoro udowodniłaś, że skoro jest dla jakiegoś prawdziwe to jest to prawdziwe dla n+1 ... to udowodniłaś że jest prawdziwe dla n= 3 ...to w takim razie i dla n−4 ... więc i dla n=5 .. itd.

kasia: Ale godzio napisał (a + b)^{n + 1} < 2^{n − 1}(aⁿ + bⁿ)(a + b) a nie powinno być tak: (a + b)^{n + 1} < 2ⁿ(aⁿ + bⁿ)(a + b)

kasia: na samym początku

Godzio: Skorzystałem z założenia jak widać Artur są różne szkoły, u nas robi się to tak: 1^o Sprawdzamy dla 2 2^o Załóżmy, że nierówność zachodzi dla pewnego n: ... Pokażemy, że dla n + 1 też zachodzi

Artur z miasta Neptuna: to może zrobię to jeszcze raz: 2^o n= k 3^o n=k+1 (a+b)ⁿ⁺¹ = (a+b)ⁿ * (a+b) ... z 2^o ... < 2ⁿ⁻¹ (aⁿ+bⁿ) * (a+b) = = 2ⁿ⁻¹(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ +aⁿb + bⁿa) < (*) // aⁿb + bⁿa = aⁿb − aⁿ⁺¹ + bⁿa − bⁿ⁺¹ + aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ = aⁿ(b−a) + bⁿ(a−b) + aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ = (aⁿ − bⁿ)(b−a) + aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ < aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ // ponieważ a>b więc aⁿ − bⁿ>0 oraz b−a<0, więc (aⁿ − bⁿ)(b−a)<0 // (*) < 2ⁿ⁻¹(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹ + aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹) = 2ⁿ(aⁿ⁺¹ + bⁿ⁺¹) = P c.n.w.

Artur z miasta Neptuna: Godzio −−− wsio ryba

kasia: dobrze a więc robie tak jak mówisz więc proszę dokoncz abym wiedziała co jest grane: 1) n=2 (a+b)² < 2 (a²+b²) a² + 2ab + b² < 2a² + 2b² 2ab < a² + b² L>P Prawda zakładam że dla n<2 (a+b)ⁿ < 2ⁿ⁻¹ (aⁿ+bⁿ) Prawda dla n= n+1 (a+b)ⁿ⁺¹ < 2ⁿ (aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹) DOWÓD 2ⁿ (aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹) >