Do [P[Godzia]] Vizer: Godzio miałeś już może liczenie granic funkcji dwóch zmiennych?

Godzio: Jeszcze nie, teraz jesteśmy przy szeregach i mówił, że poświęcimy na nie sporo czasu

Trivial: A co, Vizer?

Vizer: Mam problem z policzeniem:

	x2+y2
lim(x,y)−>(0,0)
	x2y2

Ma wyjść, że nie istnieje, ale mi nieskończoność wychodzi i nie wiem... Jeśli to ma jakieś znaczenie to na poczatku miałem taką granicę do policzenia:

	1−cos(x2+y2)
lim(x,y)−>(0,0)=
	(x2+y2)x2y2

Trivial: 1. Prosty sposób: przechodzimy na współrzędne biegunowe.

⎧	x = rcosφ
⎩	y = rsinφ

	r→0 φ dowolne
Zauważmy, że (x,y)→(0,0) jest równoważne we współrzędnych biegunowych G:		.

	x2+y2		r2
lim(x,y)→(0,0)		= limG		=
	x2y2		r2cos2φr2sin2φ

	1		1
= limG		= [		] = +∞.
	r2(sinφcosφ)2		0+

Dla pewności

	1−cos(x2+y2)		1−cos(r2)
lim(x,y)→(0,0)		= limG		.
	(x2+y2)x2y2		r2r4(sinφcosφ)2

Policzmy granicę

	1−cos(r2)		sin(r2)*2r
limr→0		=H= limr→0		=
	r6		6r5

	1	sin(r2)
= limr→0			= +∞.
	3r2	r2

	1−cos(r2)		+∞
czyli limG		= [		] = +∞.
	r2r4(sinφcosφ)2		(cokolwiek)2

Czyli ta granica istnieje i ma się dobrze.

Trivial: Zapomniałem dopisać, że cokolwiek jest liczbą rzeczywistą, więc nigdy nie zachodzi przypadek

	+∞
[		]
	∞

Vizer: Srry, ale pojechałem w miasto dzisiaj i nie byłem obecny. Hmm czyli wynika, że odpowiedzi się

	1−cos(x2+y2)
mylą. Podsumowując granica		wynosi +∞?
	(x2+y2)x2y2

Trivial: Jeżeli nie popełniliśmy jakiegoś błędu to tak.

Vizer: Okey dzięki Trivial, nie można za bardzo polegać na odpowiedziach, straciłem dużo czasu myśląc nad tym przykładem... Idę dalej zagłębiać się w ten intrygujący dział matematyki.