wykaż ze ciąg (aΩ) okreslony wzorem an=n*n + 2 jest ciągiem rosnącym paulina: wykaż ze ciąg (aΩ) okreslony wzorem an=n*n + 2 jest ciągiem rosnącym

Maciek: to jest n²

Paweł: jeśli się nie myle to trzeba zrobić coś takiego a_n+1−a_n>0 i rozwiązać

Maciek: Paweł dobrze, tylko nie wiem jak dokładnie wygląda przykład

Paweł: nie no jak n*n to to musi być n²

Maciek: czyli pomóżmy Paulinie

Eta: a_n+1= (n+1)²+2= n²+2n+3 a_n+1−a_n= n²+2n+3 − n²−2 = 2n+1 >0 dla n€ N+

Maciek: a_n+1 = (n+1)² +2

Maciek: super! już zasypiam

Paweł: a_n+1−a_n>0 (n+1)²+2−(n²+2)>0 n²+2n+1+2−n²−2>0 2n+1>0 2n>−1

	1
n>−
	2

	1
czyli ta nierówność jest spełniona dla n>−
	2

a w ciągach n jest zawsze liczbą naturalną dodatnią więc dla całej dziedziny ta nierówność jest spełniona więc ciąg ten jest ciągiem rosnącym

Paweł: jak zwykle zapóźno

Eta:

Paweł: dzięki jabłko się przyda

Gustlik: Można funkcją − jest o wiele prościej: a_n=n²+2 y=x²+2 Rysuję parabolę i z wykresu mogę odczytać, że funkcja jest rosnąca dla x≥0, czyli również jest rosnąca dla x∊N₊, bo wartości kolejnych wyrazów będą na "prawym" ramieniu paraboli.

Eta: