Zbadaj monotoniczność funkcji i określ ekstrema lukasm172: Zbadaj monotoniczność funkcji i określ ekstrema przykład: 1)f(x)= x√4x−x² 2) f(x)= x−ln(1+x) Jest ktoś w stanie rozpisać to zadanie tak bym mógł zrozumieć? Z góry dziękuje

lukasm172: pomoże ktoś?

Basia: (1) 4x−x²≥0 x(4−x)≥0 D_f=<0;4>

	1
f'(x) = 1*√4x−x2 + x*		*(4−2x) =
	2√4x−x2

2(4x−x2)+x(4−2x)
	=
2√4x−x2

8x − 2x2 + 4x − 2x2
	=
2√4x−x2

−4x2+12x
	=
2√4x−x2

−2x2+6x
√4x−x2

D_f' = (0;4) f'(x) = 0 ⇔ −2x²+6x = 0 ⇔ −2x(x−3) = 0 ⇔ x=0 lub x=3 znak pochodnej zależy tylko od licznika, bo mianownik jest stale dodatni naszkicuj sobie wykres licznika w przedziale (0;4) x∊(0; 3) ⇒ f'(x) > 0 ⇒ f(x) rośnie x∊(3,4) ⇒ f'(x) < 0 ⇒ f(x) maleje czyli dla x=3 funkcja osiąga maksimum f_max = f(3) = 3√12−9 = 3√3 tak samo zrób przykład drugi

lukasm172: f(x)=x−ln(1+x) Df=x>−1 Df=Df'=(−1,+∞)

	1		x
f'(x)= x−ln(1+x)=1−		=
	1+x		1+x

WKE f'(x)=0 x=0 f'(x)>0→ ^x_1+x>o x(1+x)>0 x=0 x=−1 fmax=−1 fmin=−ln1

Basia: prawie dobrze; x∊(−1;0) ⇒ f'(x) < 0 ⇒ f. maleje x∊(0;+∞) ⇒ f'(x) > 0 ⇒ f. rośnie x_min = 0 f_min = 0 − ln(1+0) = 0−ln1 = 0−0 = 0 maksimum nie istnieje; −1 ∉D

lukasm172: dziękuje za pomoc

Kuba: Wyznacz ekstrema lokalne oraz przedziały monotonicznośći. POMOCY

	4x
f(x)=
	x2 + 1