napisać równania prostych stycznych piotrek: napisac rownania wszystkich stycznych do wykresu funkcji y=x³−4x. do których nalezą punkty A(2,−8) lub B(−2.8)

Bogdan: f(x) = x³ − 4x f(2) = f(−2) = f'(2) = f'(−2) = Oblicz wartości oraz pochodne tej funkcji w podanych punktach

piotrek: f(2)=0 f(−2)=0 f'(2)=8 f'(−2)=8 ale co mi to daje?

Bogdan: To jeszcze raz: f(x) = x³ − 4x f'(x) = 3x² − 4 Punkt(x_o, y_o) jest punktem styczności stycznej y = ax + b przechodzącej przez punkt B(−2, 8) a = f'(x_o) = 3x_o² − 4 styczna: y − 8 = a(x + 2) => y = (3x_o² − 4)(x + 2) + 8 => => y = (3x_o² − 4)x + 6x_o² f(x_o) = x_o³ − 4x_o x_o³ − 4x_o = (3x_o² − 4)x_o + 6x_o² x_o³ − 4x_o = 3x_o³ − 4x_o + 6x_o² 2x_o³ + 6x_o² = 0 2x_o²(x_o + 3) = 0 => x_o = 0 lub x_o = −3 Są więc dwie styczne do wykresu funkcji f(x) przechodzące przez punkt B: 1. y = (3*0² − 4)x + 6*0² => y = −4x 2. y = (3*(−3)² − 4)x + 6*(−3)² => y = 23x + 54 Podobnie wyznaczamy styczne zawierające punkt A

piotrek: dziekuje ale: y − 8 = a(x + 2) => y = (3xo2 − 4)(x + 2) + 8 => => y = (3xo2 − 4)x + 6xo2 skąd Ci się wzięło y−8

Bogdan: Jeśli znamy współczynnik kierunkowy prostej a oraz punkt P(x₁, y₁) należący do tej prostej, to jej równanie wyraża się wzorem: y − y₁ = a(x − x₁). Tutaj mamy punkt B(−2, 8), czyli x₁ = −2, y₁ = 8, a więc; y − 8 = a(x + 2), Wstaw do tego wzoru a = 3x_o² − 4 i otrzymasz wyrażenie, o które pytasz?

piotrek: a prosta −4x nie będzie punktem przegięcia (nie wiem czy może to być jednocześnie styczna) idąc Twoim tokiem rozumowania równania prostych stycznych przechodzących przez A wychodzą mi takie same

piotrek: pomyłka: wychodzi mi pierwsza styczna ta sama − nie dziwota, przecież te 3 punkty leża na jednej prostej a druga 23x−54=y dobrze? co z tym punktem przegięcia?

Bogdan: Dla punktu A = (2, −8) otrzymujemy dwie styczne do wykresu funkcji f(x) zwierające ten punkt A, są to: y = −4x oraz y = 23x − 54. Pierwsza z nich pokrywa się ze styczną przechodząca przez punkt B, druga nie. Prosta y = −4x nie jest żadnym punktem, a więc nie jest także punktem przegięcia, jest prostą przechodzącą przez punkty A, B, O. Natomiast ta prosta przecina punkt przegięcia krzywej y = f(x), jest to punkt O(0, 0). W punkcie przegięcia styczna do wykresu funkcji przechodzi z jednej strony krzywej na jej drugą stronę i właśnie prosta y = −4x jest taką przechodzącą styczną.