Udowodnij nierówność Kasia: Udowodnij nierówność a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc

Eta: mnożymy obustronnie przez 2 2a²+2b²+2c² −2ab −2ac −2bc≥0 (a−b)² +(a−c)² +(b−c)²≥ 0 c.n.u

rumpek: a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc / * 2 2a² + 2b² + 2c² − 2ab − 2ac − 2bc ≥ 0 (a² − 2ab + b²) + (a² − 2ac + c²) + (b² − 2bc + c²) ≥ 0 (a − b)² + (a − c)² + (b − c)² ≥ 0 wykonałem ciąg równoważnych przekształceń i doszedłem do formy, która zawsze jest prawdziwa c.n.u.

rumpek: jasny gwint Eta jak zwykle szybsza

Eta:

ZKS: Z am − gm.

a2 + b2
	≥ ab
2

a2 + c2
	≥ ac
2

b2 + c2
	≥ bc
2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(+)

a2 + b2		a2 + c2		b2 + c2
	+		+		≥ ab + ac + bc
2		2		2

2a2 + 2b2 + 2c2
	≥ ab + ac + bc
2

a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc

Kaś: dziękuje