Planimetria Ania: Dany jest trapez równoramienny ABCD opisany na okręgu o promieniu √2. Punkt styczności dzieli ramię tego trapezu w stosunku 1 : 2. a) Oblicz pole tego trapezu. b) Wyznacz długość przekątnej tego trapezu.

Ania:

123: Liczę z podobieństwa trójkątów:

2√2		x
	=
3x		√2

Liczę bok: 3x² = 4

	4
x2 =
	3

	2√3
x =
	3

3x = 2√3 Liczę podstawy: (2√2)² + z² = (2√3)² 8 + z² = 12 z² = 4 z = 2 a − górna [pdstawa b = a + 2*z = a+2*2 = a + 4 − dolna podstawa 3x + 3x = a + b 2√3 + 2√3 = a + a + 4 2*2√3 = 2*(a + 2) 2√3 = a + 2 a = 2√3 − 2 b = 2√3 − 2 + 4 = 2√3 + 2

	(2√3 − 2 + 2√3 + 2)*2√2		2√3*2√2
P =		=		= 2√6
	2		2

123: Przekatna to: (2√2)² + (2√3 − 2 + 2)² = d² (2√2)² + (2√3)² = d² 8 + 12 = d² 20 = d² d = 2√5 tyle..

Beti: a ja mam inny wynik. Punkt styczności dzieli ramię c na dwa odcinki: x i y takie że:

	x		1
c=x+y i		=		czyli y=2x
	y		2

c=3x Ponieważ srodek okręgu wpisanego leży tam, gdzie przecinają się dwusieczne kątów, więc:

1
	a=y → a=2y=4x
2

1
	b=x → b=2x
2

Po narysowaniu wysokości z wierzchołka D mam trójkąt prostokątny w którym:

	a−b
(		)2 + h2 = c2 i h=2r
	2

	2x
(		)2 + (2√2)2 = (3x)2
	2

x²+8 = 9x² 8x²=8 /:8 x²=1 x=1 czyli a=4*1=4 oraz b=2*1=2

	4+2
więc pole: P =		2√2 = 3*2√2 = 6√2
	2

cziki: d= √17 tyle wynosi przekątna