rozkład wielomianu woody: Proszę o małą podpowiedz, wskazówkę: Rozłóż wielomian w na czynniki (nie używając schematu Hornera) : w(x)=x⁴−5x³+5x²+5x−6

Tragos: a czemuż to bez schematu Hornera w(1) = 0 w(−1) = 0

Agniesia: Jak widzimy suma współczynników tego wielomianu jest równa 0 Tak wiec wielomian ten jest podzielny przez (x−1) x⁴ − 5x³ + 5x² + 5x − 6 = x⁴ − x³ − 4x³ + 4x² + x² −x + 6x − 6 = x³(x−1) − 4x²(x−1) + x(x−1) + 6(x−1) = (x−1)(x³ − 4x² + x + 6) rozkładamy teraz : x³ − 4x² + x + 6 . Widzimy że pierwiastkiem jest (−1) czyli grupujemy do wyłaczenia (x+1) x³ − 4x² + x + 6 = x³ + x² − 5x² −5x + 6x + 6 = x²(x+1) −5x(x+1) + 6(x+1) = (x+1)(x² − 5x + 6) x² − 5x + 6 = x² − 2x − 3x + 6 = x(x−2) − 3(x−2) = (x−2)(x−3) wiec końcowa postać to : (x−1)(x+1)(x−2)(x−3)

Agniesia: MOże kolega po prostu nie lubi tego schematu

woody: A mogę np: wielomian w(x)=x⁶+3x⁵−15x⁴−19x³+30x² rozłożyć w taki sposób że przed nawias wyciągnę x² wyjdzie mi: x²(x⁴−3x³−15x²−19x+30) i zastosować schemat Hornera do tego co jest w nawiasie?

Agniesia:

woody: Bardzo dziękuje za pomoc! .Schemat Hornera bardzo lubię ale dopiero się uczę i nie zawsze wiem jak go zastosować do innych przykładów.

woody: To elegancko! Bardzo dziękuje Agniesiu za szybką odpowiedź

woody: A znacie może jakiś szybszy sposób niż schemat Hornera do rozwiązania wielomianu: w(x)=x⁶+3x⁵−15x⁴−19x³+30x² ?

Agniesia: a teraz przytulimy ten wielomian x⁴ − 5x³ + 5x² + 5x − 6 = 0 x⁴ − 5x³ = −5x² − 5x + 6

	25		25
x4 − 5x3 +		x2 =		x2 − 5x2 − 5x + 6
	4		4

(x² − 2,5x)² = 1,25x² − 5x + 6 (x² − 2,5x + y)² = 1,25x² − 5x + 6 + a a = (x² − 2,5x + y)² − (x² − 2,5x)² = 2y*x² − 5y * x + y² P = 1,25x² − 5x + 6 + a = 1,25x² − 5x + 6 + 2y*x² − 5y * x + y² = (1,25+2y)x² −(5+5y)x + y² + 6 Δ = (5+5y)² − 4*(1,25+2y)*(y² + 6) = 25 + 50y + 25y² − 4(1,25y² + 7,5 + 2y³ + 12y) = 25 + 50y + 25y² − 5y² − 30 − 8y³ − 48y = −8y³ +20y² + 2y −5 chcemy aby Δ = 0 −8y³ + 20y² + 2y − 5 = 0

	1
sprawdźmy
	2

	1		1		1		1		1
−8 * (		)3 + 20 * (		)2 + 2		− 5 = −8 *		+ 20 *		+ 1 − 5 = −1 +
	2		2		2		8		4

5 + 1 − 5 = −6 + 6 = 0

	1
więc y =		jest pierwiastkiem tego wielomianu. Wracamy do prawej strony :
	2

P = (1,25+2y)x² −(5+5y)x + y² + 6 = (1,25 + 1)x² −(5 + 2,5)x + 0,25 + 6 = 2,25x² −7,5x + 6,25 = (1,5x − 2,5)² wracamy do naszego równania : (x² − 2,5x + y)² = (1,5x − 2,5)² (x² − 2,5x + 0,25)² − (1,5x − 2,5)² = 0 (x² − 2,5x + 0,25 − 1,5x + 2,5)(x² − 2,5x + 0,25 + 1,5x − 2,5) = 0 (x² −4x + 3)(x² − x −2) = 0 pierwszy : x² − 4x + 3 = 0 x₁ + x₂ = 4 x₁*x₂ = 3 wynika z tego x₁ = 3 oraz x₂ = 1 drugi : x² − x − 2 = 0 x₁ + x₂ = 1 x₁*x₂ = −2 wynika z tego : x₁ = −1, x₂ = 2 mamy więc ostatecznie : x⁴ − 5x³ + 5x² + 5x − 6 = (x² −4x + 3)(x² − x −2) = (x+1)(x−1)(x−2)(x−3)

Agniesia: grupowanie jest dużo szybsze ale wymaga dużo więcej wprawy

woody: a znasz może jakąś dobrą stronę z przykładami gdzie mógłbym poćwiczyć grupowanie?

Agniesia: przecież przykłady na grupowanie można wymyślać od tak sobie : x³ −3x + 2 = 0 zacznij od takiego

woody: no tak, ale jak sam sobie zacznę wymyślać to nie będę wiedział czy wynik jest dobry

Agniesia: dlatego ja ci wymyślę Ty podasz wynik si sprawdzimy Masz jeszcze taki nietypowy : x³ + 3x² + 3x + 11 = 0 jest on bardzo nietypowy wiec jeżeli nie będzie ci wychodził to go na razie po prostu zostaw

woody: Przepraszam za pewnie oczywiste Tobie pytanie ale jeżeli suma współczynników wielomianu nie jest równa 0 to wtedy jak szukam odpowiedniego pierwiastka? Bo chyba nie podstawiam po kolei każdej liczby całkowitej i sprawdzam

woody: Pierwszy przykład wyszedł mi tak: (x−√2)(x+√2)(x−1) dobrze?

Agniesia: Pierwiastki nie muszą być całkowite − patrz twierdzenie o pierwiastkach wymiernych). Jednak jeżeli są całkowite to sprawdzasz wśród dzielników wyrazu wolnego. Oczywiście może się tak zdarzyć że wielomian nie będzie miał pierwiastków całkowitych oraz wymiernych. Wtedy musisz na prawdę pokombinować aby go rozłożyć na czynniki. Jednak takie sytuacje w liceum raczej się nie zdarzają.

Agniesia: (x−√2) = 0 czyli √2 jest pierwiastkiem (√2)³ − 3*√2) + 2 = 0 2√2 −3√2 + 2 = 0 −√2 + 2 = 0 sprzeczność. Czyli źle. Zauważ ze tam nie ma x² tylko jest x³ a przy x² jest 0

woody: wiem że do szukania pierwiastka używam też "Twierdzenia o pierwiastkach wymiernych" ale czy w jakiś jeszcze inny sposób mogę go znaleźć?

Agniesia: Raczej stosuje się tylko te dwa twierdzenia. Oczywiście są inne metody ale szkoda czasu na ich omawianie.

woody: Drugie podejście do przykładu z wynikiem: (x+4)(x−5)(x−1) dobrze?

woody: nie nie nie! cofam zaraz podam wynik

woody: (x−2)(x−1)(x+1) dobrze?

Agniesia: udowodnię w inny sposób : Niestety źle.

Agniesia: ten ostatni dobrze

woody: dziękuje

Agniesia: jutro jak o sobie przypomnisz to wymyślę ci dużo więcej takich przykładów

woody: To o której będę mógł Ciebie troszkę pomęczyć z przykładami?

woody: Jak mogę znaleźć pierwiastek do drugiego przykładu: x³+3x²+3x+11=0 ?

Agniesia: Nie wiem o której będę Jakoś po południu pewnie Co do drugiego przykładu mówiłem : Jak nie będziesz wiedział jak zrobić zostaw. Kiedyś do niego wrócimy.

woody: Dobrze, w takim razie bardzo dziękuję za dzisiejszą pomoc i do zobaczenia