indukcja matematyczna bartek: udowodnić twierdzenia stosując zasadę indukcji matematycznej a) liczba (n³ + 11n) jest podzielna przez 6 b) liczba (n³ − n) jest podzielna przez 6 umiem tylko dotąd zrobić a) t(n): n³ +11n = 6*p t(1): 1³ +11*3 = 12 = p*2 t(n+1) : n+1³ + 11(n+1) = 6*q i to samo z b a nie wiem co dalej proszę pomocy

Agniesia: a) 6|n³ + 11n co znaczy : istnieje taki l że : 6*l = n³ + 11n 1^o Sprawdzam prawdziwość dla n = 1 P = n³ + 11n = 1 + 11 = 12 = 2*6 ⇒ l = 2 2^o Zakładam że jest to spełnione dla pewnej liczby k : 6*l = k³ + 11k 3^o Zakładam że jest prawdziwe dla k +1 6*l₂ = (k+1)³ + 11(k+1) Dowód: P = k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11 = k³ + 3k² + 14k + 12 = ... teraz z założenia wyznaczam k³ = 6*l − 11k i wstawiam to do dwodu indukcyjnego ... = 6*l − 11k + 3k² + 14k + 12 = 6*l + 3k² + 3k + 12 = 6*l + 3(k² + k + 4) = 6*l + 3(k(k+1) + 4). I nie jestem tutaj pewna ale sądzę że: 6l dzieli się przez 6 bez problemu. Druga liczba dzieli się przez 3 oraz wyrażenie w nawiasie jest podzielne przez 2 co dowodzi tezy.

Agniesia: Jednak wolałabym aby ktoś to potwierdził.

Artur z miasta Neptuna: a) 1⁰ n=1 1 + 11 = 12 ... jest podzielne przez 6 2⁰ n=k (k³ + 11k) jest podzielne przez 6 3⁰ n=k+1 (k+1)³ + 11(k+1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11 = (k³ +11k) + 3k² + 3k + 12 = = (k³ +11k) + 3(k² + k) + 12 = (k³ +11k) + 3k(k+1) + 12 k³ +11k −−− podzielne przez 6 na mocy 2⁰ 12 −−− podzielne przez 6 3k(k+1) −−− podzielne przez 6 .. ponieważ 3 podzielne przez 3 ... a k(k+1) jest podzielne przez 2, gdyż k lub (k+1) to liczba parzysta C.N.W.

Patronus: pytanie czy 3(k(k+1)+4) − dzieli się przez 6? Tak, bo k(k+1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych, czyli jedna z nich jest parzysta, jak dodamy 4 dalej mamy liczbę parzystą i do tego mnozymy przez 3 czyli mamy pewność, że otrzymana liczba dzieli się przez 2 i 3 czyli przez 6

prawie_jak_arystoteles:): czyli wszystko ok na to wygląda dziękuje jeszcze przykład b bardzo bym prosił .

Agniesia: Zrób analogicznie. Jest dużo prostszy.

prawie_jak_arystoteles:): właśnie coś zrobiłem ale chciałbym abyście mi sprawdzili czy dobrze n³ −n = 6 * p t(1) : 1−1=0 t(2): 8−2 = 6 = 6*2 prawda dla n+1 (n+1)³ −(n+1) = 6 * q dowód: L_t(n+1) = (n+1)³ −(n+2) = n³ +3n² + 3n +1 −n − 1 = = n³ − n +3n² + 3n = n³−n + 3n(n+1) n³−n − podzielne na mocy założenia T(n) 3n(n+1) − podzielne poniewaz 3 dzieli sie przez 3 a n(n+1) dzieli się przez 2 .

prawie_jak_arystoteles:): tylko niewiem czy te t(1) które równa się zero tak mozna zostawic czy trzeba cos napisac ?

Agniesia: = 0 = 6*0

prawie_jak_arystoteles:): a czy pomoże mi ktoś zrobić to (11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹) podzielne przez 133 zrobiłem tak T(n): 11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹ = 133 *p dla T(1) : 11³ +12³ =3059 = 133 * 23 dla n+1 T(n+1): 11^(n+1)+2 +12^2(n+1)+1 = 133 *q dowód T(n+1): 11^(n+1)+2 +12^2(n+1)+1 i dalej nie wiem jak to zrobic

Krzysiek: 11ⁿ⁺² *11 +12²ⁿ⁺¹ *12² =11(11ⁿ⁺² +12²ⁿ⁺¹ ) +133*12²ⁿ⁺¹ =...

prawie_jak_arystoteles:): nie rozumiem przecież 11ⁿ⁺² * 11+12²ⁿ⁺¹ * 12² = 11(11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹)*12² to skąd t2 + 133 * 12²ⁿ⁺¹

Krzysiek: jak wymnożysz ten nawias to masz: 11*11ⁿ⁺² +11*12²ⁿ⁺¹ a powinno być 144 *12²ⁿ⁺¹ ... więc brakuje jeszcze 133...

prawie_jak_arystoteles:): czyli wynik bedzie taki : ...= 11*(133p)+133*12ⁿ⁺¹ =133 * 11p + 133 * 12 ⁿ⁺¹ = =133* q ? q= 11p+133*12ⁿ⁺¹

prawie_jak_arystoteles:): bo gdy sprawdzenie robie to inny wynik wychodzi

prawie_jak_arystoteles:): a nie wszystjo jest ok trzeba wyciągnąć przed nawias 133(11p+12²ⁿ⁺¹) = 133*q dziękuje