Iloczyn dwóch kolejnych liczb MvC: Uzasadnij, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 6 lub przy dzieleniu przez 18 daje resztę 2.

Artur z miasta Neptuna: n*(n+1) 1^o 6 dzieli n i po sprawie 2^o 6 przy dzieleniu n daje resztę 1 n = 6k+1 n+1 = 6k+2 n*(n+1) = (6k+1)(6k+2) = 36k² + 3*18k + 2 = 18(2k²+3k) + 2 ... czyli dzieląc przez 18 masz resztę 2 3^o 6 przy dzieleniu n daje resztę 2 n = 6k+2 n+1 = 6k+3 n*(n+1) = (6k+2)(6k+3) = 36k² + 5*18k + 6 = 6(6k²+15k+1) ... czyli jest to podzielne przez 6 4^o 6 przy dzieleniu n daje resztę 3 n = 6k+3 n+1 = 6k+4 n*(n+1) = (6k+3)(6k+4) = 36k² + 7*18k + 12 = 6(6k²+21k+2) ... czyli jest to podzielne przez 6 5^o 6 przy dzieleniu n daje resztę 4 n = 6k+4 n+1 = 6k+5 n*(n+1) = (6k+4)(6k+5) = 36k² + 9*18k + 20 = 18(2k²+3k +1) + 2 ... czyli dzieląc przez 18 masz resztę 2 6^o 6 przy dzieleniu n daje resztę 5 n = 6k+5 n+1 = 6k+6 czyli 6 dzieli n+1 c.n.w.

Eta: Można prościej : n(n+1) 1^o n,n+1 −−− kolejne liczby naturalne , wśród nich jest liczba parzysta i jeżeli jedna z nich podzielna przez 3 ⇒ podzielność przez 6 2 jeżeli wśród nich nie ma liczby podzielnej przez 3 to liczby te są postaci n= 3k+1 n+1= 3k+2 n(n+1) = (3k+1)(3k+2) = 9k²+9k+2 = 9k(k+1)+2 k,k+1 dzieli się przez 2 to liczba 18 | 9k(k+1) +2 −−− przy dzieleniu przez 18 daje resztę 2