wielomiany rafal: Dla jakich parametrów wielomian W(x)= 64x³ + 48x² +px + q ma pierwiastek trzykrotny?

ICSP: czyli da sie go zawinąć do wzoru skrócanego mnożenia (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ czyli mamy : a³ = 64x³ 3a²b = 48x² policz a i b później masz : p = 3ab² q = b³

Artur z miasta Neptuna: wzory viete'a dla wielomianu 3 stopnia (analogiczne dla tych dla wielomianów 2stopnia)

ICSP: Arutrze wiem o wzorach Viet'a Jednak niestety w liceum nie praktykuje się ich dla wielomianu stopnia III oraz wyższych Mógłbym się ciebie spytać po jakich studiach jesteś?

Mila:

	−q
x13=
	64

	−48
3x1=
	64

	p
3x12 =
	64

Artur z miasta Neptuna: ICSP −−− źle przeczytałem ... myślałem o trzech RÓŻNYCH pierwiastkach

Mila: ICSP − w klasach o poszerzonym zakresie podaje się, Napisać?

Artur z miasta Neptuna: ICPS −−− jestem po matmie na PG (politechnika gdańska) ... ale w/w wzory Viete'a miałem w liceum (ostatni rocznik 'przed gimnazialny')

ICSP: Arturze ja też na początku o wzorach Viet'a pomyślałem ,ale później zdałem sobie sprawę z tego że pewnie wrzuca to zadanie jakiś licealista i może on mieć problemy ze wzorami Viet'a dla równania sześciennego

ICSP: W takim razie Arturze algebrę abstrakcyjną powinieneś mieć w małym paluszku?

Artur z miasta Neptuna: dla mnie ogólnie Algebra była abstrakcyjna w końcu nie bez kozery mówi się, że 'algebra powstała przez filozofów, którzy stwierdzili, że matematyka jest zbyt logiczna' powiedzmy, że ją pamiętam ... pytaj może będę wiedział.

Mila: ICSP − jesteś bardzo dobry − nie ma co się martwić tymi wzorami. Masz czas. Najważniejsza jest zdolność odkrywania ......

ICSP: Wykazać następujące właśności rzędu elementu grup: a)rz(ab) = rz(ba) b)rza = rz(a⁻¹) c)Jeżeli rza = k oraz a^r = e to k|r

Artur z miasta Neptuna: oki ... to parę rzeczy musisz mi przypomnieć: 1) co to jest rząd grupy 2) czy a⁻¹ będzie grupą odwrotną? jeżeli tak to jak ona jest definiowana 3) ogólnie przypomnij mi definicję grupy

ICSP: Mila ja znam wzory Viet'a dla wielomianów stopnia III oraz wyżej. Niestety poddaje w wątpliwość czy kolega którego temat przejęliśmy je zna

Artur z miasta Neptuna: wybacz ... ale miałem to 7 lat temu i później tego nie używałem (specjalizacja −−− Mat. Finansowa) więc mi to troszkę 'uleciało' z główki

ICSP: Oczywiście rozpatrujemy grupy multilplikatywne. rzęd elementu grupy : Jeżeli istnieje taka liczba naturalna k ≥ 1 że a^k = e to najmniejszą sposórd takich liczb nazywamy rzędem elementu grupy.

Mila: To przepraszam, zrozumiałam, że jesteś licealistą i to mój błąd, opinię o Twojej wiedzy podtrzymuję.Jesteś studentem? Kolega milczy, może jutro spojrzy i wypowie się. Pozdrawiam. Artura też.

Artur z miasta Neptuna: a) czy G jest abelowa

ICSP: nie ma nic na ten temat powiedzianego

ICSP: Przepraszam teraz ale muszę na chwilkę wyjść Będę około 23:30

Mila: p=12 q=1 x₁=−1/4 ?

Artur z miasta Neptuna: c) skoro rz(a) = k to k=min_s∊N{a^s = e} dowód nie wprost. w takim razie: ∃_n∊N r = n+ v*k ⋀ n < k skoro a^r = e oraz a^r = a^n+v*k = aⁿ * a^vk = aⁿ * e ⇔ aⁿ = e ale n<k ... więc rz(a) = n < k sprzeczne czyli n=k c.n.w.

Artur z miasta Neptuna: jeszcze raz 3) rz(a) = k czyli k = min_s∊N{a^s = e} a^r = e ∃_v∊N r=n+v*k ⋀ n≤k 1^o n=k e = a^r = a^n+vk = a^(1+v)k ⇒ k|(1+v)k 2^o n<k e = a^r = a^n+vk = aⁿ o a^vk = aⁿ o e = aⁿ ⇒ aⁿ = e sprzeczne ... ponieważ k = min_s∊N{a^s = e} c.n.w.

Artur z miasta Neptuna: 2) rz(a) = k czyli k=min_s∊N{a^s = e} rz(a⁻¹) = l czyli l=min_s∊N{(a⁻¹)^s = e} 1^o niech l>k e = a^k o (a⁻¹)^l = a o .... o a o a⁻¹ o .... o a⁻¹=/// 'a' jest k, a⁻¹ jest l ///= = e^k o (a⁻¹)^l−k = a⁻¹)^l−k ⇒ a⁻¹)^l−k = e sprzeczne ponieważ: l=min_s∊N{(a⁻¹)^s = e} 2^o niech k>l e = a^k o (a⁻¹)^l = a o .... o a o a⁻¹ o .... o a⁻¹=/// 'a' jest k, a⁻¹ jest l ///= = a^k−l o e^l = a^k−l ⇒ a^k−l = e sprzeczne ponieważ: k=min_s∊N{a^s = e} czyli: k=l c.n.w.

ICSP: Mila

ICSP: Arturze dziękuję Zobaczę czy w ogóle coś z tego zrozumiem

Artur z miasta Neptuna: tutaj nie wiem czy moje rozumowanie jest prawidłowe ... czyli: ab² = a o b o a o b 1) rza(ab) = k czyli k=min_s∊N{(ab)^s = e} rza(ba) = l czyli l=min_s∊N{(ba)^s = e} 1^o niech l>k ∃_v∊N l = n + vk ⋀ n≤k e = (ba)^l = b o a o b o .... o a o b o a = // mamy takich par 'b o a' dokładnie 'n+vk' // = = b o ( a o b o .... o a o b) o a o b o .... o a =//w nawiasie wydzielamy 'vk' par 'a o b'//= = b o a o b o a ...o b o a = (b o a) ⁿ ⇒ (ba)ⁿ = e sprzeczne, ponieważ n < l=min_s∊N{(ba)^s = e} 2^o niech k>l −−− analogicznie czyli k=l c.n.w.

Artur z miasta Neptuna: w (1) skorzystałem z 'łączności' która MUSI zachodzić w grupie w (2) skorzystałem z istnienia elementu neutralnego w grupie wydaje mi się, że dobrze ... spróbuj to przetworzyć sobie, jakby było źle ... to jutro o tym się dowiem miłej nocki

ICSP: dziękuję bardzo Oczywiście jutro po zajęciach to przetworzę bo dziś już niestety nie dam rady

Artur z miasta Neptuna: jeszcze tylko komentarz do (1): jak wydzieliłem 'vk' par 'a o b' to na mocy rz(ab)=k ... ten cały nawias zamieniłem na 'e' i go później (z rozpędu) nie zapisałem (ale nomen omen powinno się napisać 'b o e o a o .... o b o a')

Mila: Rozw, bez wzorów Viete'a w(x) =64*(x−a)³ gdzie a to potrójny pierwiastek w(x)=64*(x³−3x²a+3xa−a³) w(x) =64 x²−192x²a+192xa² −64 a³ i porównaj ze wpółczynnikami w(x). 64 x²−192x²a+192xa² −64 a³ =64x³+48x² +px+q