Ekstema lokalne Tiamat: Mógłby mi ktoś wypisać co po kolej robić, żeby rozwiązać zadanie o takiej treści: "wyznaczyć ekstrema lokalne oraz przedziały monotoniczności funkcji" ? Daję przykład, żeby dało się zrobić wizualizację: f(x) = ^x₂ + ⁸_x

Aga1: Licz dziedzinę , pochodną, pochodną przyrównaj do zera f^'>0 f^'<0

Tiamat: ok, zatem: x ≠ 0 czyli D: R \ {0}

	8
f'(x)= 24 +
	x2

i to porównanie będzie chyba wyglądało jakoś tak:

	8
24 +		> 0
	x2

	8
24 +		< 0
	x2

Nie wiem, co dalej? Btw, zawsze mam liczyć dziedzinę?;3

Aga1: Zawsze. Pochodną źle obliczyłeś, popraw Oblicz miejsca zerowe pochodnej, pomnóż obie strony przez mianownik

ICSP: Aga1 czy będzie różnica w liczeniu pochodnej jeśli najpierw przekształcę tą funkcję(np. sprowadzę do wspólnego mianownika)?

Tragos: nie jestem Aga, ale odpowiem nie

ICSP: Dziękuję bardzo

Tragos:

	f
tutaj licząc pochodną, nie ma po co używać wzoru na (		)'
	g

	x		8		1		1		1		−1		1		8
f(x) =		+		=		x + 8		=		+ 8		=		−
	2		x		2		x		2		x2		2		x2

Aga1: Witaj ICSP, to Twoje zadanie, czy tylko się zapytałeś?

ICSP: To było z ciekawości Moje zadanie wygląda troszkę inaczej

Tiamat: Chodzi o to że nie skróciłam ²₄ do ¹₂? : D Bo jeśli to coś innego to nie mam pojęcia gdzie jest błąd:3

Tiamat: Ale jak chcę to mogę używać tego wzoru? Bo mi łatwie trzymać się jednej metody, niż każdą pochodną liczyć różnymi sposobami.

Tragos:

1		8
	−
2		x2

Aga1: U P[U[Tragosa]] powinno być f^'=

1		8
	−		=0//*2x2
2		x2

x²−16=0 x=−4, x=4 są to punkty podejrzane o ekstremum

Tragos: rzeczywiście, widzę zaszalałem z zapisem

	x		8		1		1
f(x) =		+		=		+ 8
	2		x		2		x

a reszta to już f'(x)

Tiamat: Czyli moge se wsadzić ten wzór, bo mi znaki inaczej wyszły: / Masakra xD

Tragos: nie.. ten wzór jest dobry.. powinno wychodzić tak samo, zaraz przeliczę na pewno stosujesz go w formie:

	f		f'g − fg'
(		)' =		= ?
	g		g2

Tiamat: No właściwie to pochodną zawsze daję na początek, czyli mniej więcej coś takiego:

f'g −g'f
g2

ale na jedno wychodzi:3

Tragos:

	x		8		x2 + 16
f(x) =		+		=
	2		x		2x

	x2 + 16		(x2 + 16)' * 2x − (2x)' * (x2 + 16
f'(x) = (		)' =		=
	2x		(2x)2

2x * 2x − 2x2 − 32		4x2 − 2x2 − 32		2x2 − 32		2
	=		=		=		−
4x2		4x2		4x2		4

	32
		=
	4x2

1		8
	−
2		x2

wychodzi to samo

Tiamat: a widzisz, ja tego nie skleiłam w jeden ułamek tylo liczyłam (^x₂)' + (⁸_x) pewnie dlatego

Tiamat: zgubiłam prim:3

Aga1: Jakby nie liczyć to wynik wychodzi taki sam.

Aga1: Tragos pomagaj dalej , ( jak się wciąłeś)

Tiamat: Ok, czyli mam przyjąć, że coby tam nie było i tak wyjdzie na jedno? Czyli teraz robie porównanie, tak? Ok, czyli x= −4 i x=4 i to są nasze potencjalne ekstrema tak?:3

Tragos: ja tylko chciałem pokazać inny sposób liczenia pochodnej, po co stosować taki wzór do takiej pochodnej licząc dowolnym sposobem tą pochodną wyjdzie to samo

	1		8
f'(x) =		−
	2		x2

f'(x) = 0 x = −4 lub x = 4 i to są punkty podejrzane o ekstremum rozwiąż teraz f'(x) > 0 oraz f'(x) < 0

Tiamat: Ok, wyszło mi to samo: x=−4 oraz x=4 W zasadzie, zastanawiam się po co to liczyć, jeśli wychodzi to samo?;3

Tragos: rozwiąż f'(x) > 0 i f'(x) < 0

Tiamat: x> −4 x<4 ?

Tragos: f'(x) > 0 ⇔ x ∊ (−∞, −4) u (4, ∞) z tego wynika, że funkcja jest rosnąca w przedziałach (−∞, −4) oraz (4, ∞) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f'(x) < 0 ⇔ x ∊ (−4, 4) / {0} z tego wynika, że funkcja jest malejąca w przedziałach (−4, 0) oraz (0, 4) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− teraz sprawdzamy te ekstrema dla x = −4, będzie ekstremum lokalne maksymalne, bo znak pochodnej zmienia się z plusa na minus dla x = 4, będzie ekstremum lokalne minimalne, bo znak pochodnej zmienia się z minusa na plus

Tiamat: Matko ale to skomplikowanie wygląda, myślałam że to będzie nieco łatwiejsze: D Ok, mam to podstawić do pochodnej? I co dalej, po kolei? Tak mniej więcej, bo muszę się zbierać, więc razem nie policzymy:3

Tragos: jak co dalej? to już koniec zadania

Tragos: https://matematykaszkolna.pl/strona/381.html https://matematykaszkolna.pl/strona/387.html

Aga1: Wtrącę się, ekstrema trzeba teraz wyznaczyć licząc ze wzoru podanej funkcji y_max=f(−4)= iy_min=f(4)= f(4)=

Tiamat: ok, to się zgadza, jakby wyglądała tabelka i jak sformuować odpowiedź? Bo moja babka odejmuj pkt jak nie ma odpowieedzi

Aga1: Taka odpowiedź, jakie pytanie, czy polecenie. A co do tabelki, to zrób szkic (bo różnie są robione) i pomogę Ci ją uzupełnić, jeśli nie będziesz wiedziała.

Artur z miasta Neptuna: tak może wyglądać tabelka: legenda: f'_x = f'(x) f_x = f(x) A = (−∞,−4) B = (−4,0) C=(0,4) D = (4,+∞) chyba w tabelce nie zaznacza się asymptot pionowych (x=0), ale to musisz sprawdzić.

Tiamat: Rysowanie tutaj to koszmar xD Ok to może tak: l (−∞,−4) l (−4) l (−4,4) l (4) l (4,∞) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f'(x) l + l 0 l − l 0 l + −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f(x) l Rośnie l max l Maleje l min l Rośnie No tam powinny być strzałki: Rośnie skierowane w prawy róg górny Maleje skierowane w prawy dolny róg :3

Tiamat: Buuu, czemu tam ma być zero? I skąd je wziąć w innych przypadkach?

Artur z miasta Neptuna: gdzie zero jakie 0 ? o czym Ty mówisz?

Tiamat: Odpowiedź: funkcja ma estrema lokalne −4 oraz 4 oraz jest rosnąca w przedziałach: (−∞,−4) i (4,∞0), a malejąca w (−4,4). Dobrze to ujęcłam?:3

Artur z miasta Neptuna: hmmm ... patrz: 'dziedzina funkcji'

Tiamat: To w tabelce, ale chyba już wiem, to jest asymptota po prostu?

Tiamat: Czyli do tabelki muszę wrzucić też to co wcześniej "wyrzucam" ?

Artur z miasta Neptuna: inaczej −−− w tabelce musi być informacja jak się funkcja zachowuje DLA KAŻDEGO X∊R ... więc jeżeli jakiś 'x' ∉ D_f ... to musi być o tym wzmianka w tabelce bo to co Ty napisałeś oznaczałoby, że f(0) istnieje, co jest oczywiście bzdurą

Tiamat: Nie nie, chyba to po prostu debilnie napisałam: D Ale rozumiem raczej o co Ci chodzi, musi być ale właćiwie nie ma. Jakby.