funkcja wymierna Efka: Dana jest funkcja o równaniu: ax − 4 f(x)=−−−−−−−−−− x − a Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru a, dla których funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów (−∞,a), (a,∞).

Basia: ax−4 = a(x−a) + a² − 4 stąd

	a(x−a) + (a2−4)		a(x−a)		a2−4		a2−4
f(x) =		=		+		=		+ a
	x−a		x−a		x−a		x−a

sprawdź kiedy funkcja homograficzna jest malejąca, czyli jakie musi być a²−4 i rozwiąż nierówność z niewiadomą a

Bogdan: Dobry wieczór. Przedstawię sposób na określenie monotoniczności funkcji homograficznej

	ax + b
f(x) =
	cx + d

| a b | Wyznaczamy wyznacznik W = | | | c d | Funkcja f(x) jest rosnąca w każdym z przedziałów (−∞, −^d_c), (−^d_c, +∞) wtedy, gdy W > 0. Funkcja f(x) jest malejąca w każdym z przedziałów (−∞, −^d_c), (−^d_c, +∞) wtedy, gdy W < 0. Pytanie do zainteresowanych − co się dzieje z funkcją homograficzną, gdy W = 0?

tim: Może wtedy jest stała?

Basia: Zgadłeś Tim. Ale pokombinuj dlaczego tak jest.

tim: Bo tak

Basia: Nie ma "bo tak" ! Uzasadnij !

tim: Bo jak była malejąca i rosnąca to musi być stała?

Basia:

	a		c
Nie, bo ad=bc ⇒		=		dla b,d≠0
	b		d

I co dalej ?

tim: Nie wiem

Basia: Spróbuj teraz pokombinować z wzorem f.homograficznej

	ax+b
f(x) =
	cx+d

tim: Skróci się?

Bogdan: Podpowiedź dla tima.

	bc
W = 0 => ad = bc stąd np.: d =
	a

	ax + b
f(x) =
	cx + d

	bc
Wstaw do wzoru funkcji w miejsce d wyrażenie		,
	a

wykonaj odpowiednie działania i doprowadź wzór funkcji do najprostszej postaci.

Basia: Można prościej

	a(x + ba)
f(x) =
	c(x + dc)

tim:

	ax + b
f(x) =
	bc   cx +   a

I że niby co dalej?..

Basia:

	bc
Przekształć mianownik (cx i		do wspólnego mianownika) albo patrz wyżej.
	a

tim: Nie widzę tego dalej...

Basia: Tim:

	ax+b		a(x+ba)
f(x) =		=
	cx+d		c(x+dc)

	a		c		b		d
ad−bc=0 ⇒ ad = bc ⇒		=		⇒		=
	b		d		a		c

	a(x+dc)		a
f(x) =		=
	c(x+dc)		c

albo

	ax+b		ax+b		a(ax+b)		a
f(x) =		=		=		=
	bc   cx +   a		acx + bc   a		c(ax+b)		c

tim: Nie cierpie dowodów

Bogdan:

	ax + b
Jeśli f(x) =
	cx+ d

	a
to prosta y =		jest asymtotą poziomą hiperboli.
	c

	a
Pytanie − jeśli W = 0, to czy w każdym przypadku otrzymamy prostą y =		?
	c

Basia: To pytanie do Tima? czy do mnie ? Moje rozwiązanie dotyczyło a,b,c,d≠0

Bogdan: Basiu, dla Ciebie to za łatwe pytanie. Tak sobie je zadałem, aby każdy, kto je przeczyta i jest ciekawy odpowiedzi, mógł sam ją ustalić. Ale jeśli tim chcesz spróbować, to zapraszam Cię do zmierzenia się z tym pytaniem.

Basia: No to nie odpowiadam ! Niech Tim trochę powalczy !

tim: Zamęczycie mnie na śmierć i tak nie wiem

Basia: Pomyśl spokojnie, nie musisz zaraz odpowiadać.Nie musisz nawet dzisiaj odpowiadać.

tim: Nie mam pojęcia ..., To jest po prostu zbyt trudne, na pewno c≠0...

Basia: Pa, pa !

Bogdan: Pa, pa!