surjekcja J: Mam prośbę wiem że funkcja f:R−>R f(x,y)=<x+y, xy> nie jest ani injekcją ani surjekcją. Jak udowodnić , że ona nie jest surjekcją? jak to można wykazać, oprócz tego że podać kontrprzykład Proszę o pomoc.

J: R²−>R²

Man in black: Z układu równań x+y=a, xy=b wyliczasz x i y. Jak rozwiązania istnieją dla dowolnych a i b − jest to surjekcja. Jeżeli dodatkowo są jedyne − jest to również injekcja, czyli bijekcja.

J: ale skąd mam to wiedzieć że rozwiązania istnieją dla dowolnych a i b?

Man in black: Rozwiązując układ. Jak się da rozwiązać to są, jak nie to nie...

Man in black: U Ciebie: x+y=a, xy=b. Stąd y=^b_x, (dla x≠0) i dalej: x+ ^b_x=a. Stąd: x²−ax+b=0. To równanie (a więc i wyjściowy układ) ma rozwiązania rzeczywiste, tylko dla takich a i b, dla których Δ=a² − 4b≥0. Oznacza to, że funkcja f nie jest surjekcją (nie dla wszystkich a i b układ ma rozwiązanie)