geometria analityczna member : Punkty A= (4,−3) B= (10,6) są wierzchołkami prostokąta ABCD, a prosta 3x−2y+8=0 zawiera bok CD a) wyznacz równanie prostej CD b)Oblicz współrz. wierzchołka D c)Obl pole prostokąta ABCD Bardzo proszę o pomoc, ponieważ u mnie nie bangla to

Basia: Podpowiadam

Basia: Proste BC i AD muszą być prostopadłe do CD. Napisz ich równania. Punkt C jest punktem wspólnym pr.BC i CD; układ równań Punkt D jest punktem wspólnym pr.AD i CD; układ równań pr.CD równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

member : nie potrafię napisać równań tych prostych, układ równań sklecę ale te proste... Czy mogę liczyć na szczegółową odpowiedź do tych prostych, tak abym to zrozumiał ? zapisałem sporo kartek ale nic mi nie wychodzi metodą prób i błędów

Basia: masz równanie pr.CD przekształć je do postaci y=ax+b czekam na odpowiedź

Bogdan: Piszesz: "prosta 3x−2y+8=0 zawiera bok CD a) wyznacz równanie prostej CD" W treści zadania podana jest odpowiedź do a)

member : 3x−2y+8=0 −−> 2y=3x−8 | :2 −−−> y=³₂x−4

Basia: dobrze, to jaki współczynnik kierunkowy będzie miała prosta do niej prostopadła ?

member : nie wiem <wstyd> , Bardzo przepraszam ,ale muszę opuścić was mam pilną sprawę do załatwienia, będę za 2 godz. Przepraszam że opuszczam was, wiedząc ze chcecie mi pomóc.

Bogdan: Dobry wieczór Basiu U Ciebie też jest lato?

Basia: Wstyd ! (że nie wiesz)

	1
Prosta prostopadła do prostej y=ax+b to prosta y= −		x + c
	a

Basia: Witaj Bogdanie ! Lato w pełni ! Bezpośrednio po dłuuuuuuuuuugiej zimie! Wiosny nie było.

Bogdan: Mnie też Basiu czasami opadają ręce.

Basia: Owszem opadają. Albo wtedy zupełnie rezygnuję, albo się poddaję i z litości piszę gotowca (zależnie od humoru, nie da się ukryć). A poważnie przeraża mnie poziom wiedzy nie tych najsłabszych (cóż Hugo Steinhaus zawsze twierdził, że 30% populacji nie jest w stanie opanować matematyki nawet na bardzo średnim poziomie i że nic na to nie poradzimy), ale tych formalnie niezłych uczniów (to już doświadczenia spoza forum) i poziom nauczania w niektórych szkołach, gdzie w klasach z rozszerzonym programem matematyki nawet poziom podstawowy nie jest realizowany jak należy !

Bogdan: W zupełności podzielam Twój pogląd. Mam podobne doświadczenia nie tylko z uczniami szkół gimnazjalnych i średnich. Przykro mi to powiedzieć, ale nie mam najlepszego zdania o nauczycielach matematyki, niewielu jest wśród nich pasjonatów tego przedmiotu. Wydaje mi się, że umiejętności matematyczne i zaprzyjaźnianie się z matematyką powinno być wszczepiane już na etapie nauczania początkowego, a tam spotkać można nauczycieli bojących się matematyki. No, ale cieszmy się z ładnej pogody.

tim: Więc tak... Macie rację obydwoje. Mój obecny nauczyciel matematyki uczy, bo musi, i wogole nie zwraca na mnie uwagi... Moja siostra uczy w nauczaniu początkowych i mówi, że ciężko nauczyć małe dzieci liczenia, jak one nie chcą, bądź nie mogą sobie poradzić. I dalej... w tym roku zostałem zaproszony do pobliskiego liceum (jedynego w mieście) na miesięczny "kurs" do IA LICEUM. Chodziłem normalnie na lekcje matematyki do nich do takiej pani . Bardzo świetny był z niej kontakt, dobrze uczyła, klasa była też wspaniała, nie było żadnego problemu. To była nauczycielka, chciałbym trafić na taką nauczycielkę, ale wiem, że szkoła w moim wieście ma za mały poziom...

Basia: Jutro pucuję rowerek i zaczynam rozgrzewkę. Dzisiejszy dzień niestety poświęciłam oknom.

member : uuu co za szczęście mnie spotkało, mieścić takie mózgi w tym skromnym poście. przyznaje się bez bicia że należę do tych 30 % populacji, mimo tego że nie muszę się uczyć matematyki, to chcę, topornie to idzie ale nikt od razu nie nauczył się chodzić, tym optymistycznym akcentem, piszę że wróciłem

Basia: Logicznego myślenia dziecko zaczyna uczyć się już między drugim a trzecim rokiem życia. Zabawki edukacyjne odgrywają tu ogromną rolę. Niestety nie dość, że jest ich mało to przegrywają z "bezmyślnymi" zabawkami mechanicznymi i lalkami Barbie. Także, a raczej przede wszystkim, dlatego, że zainteresować dziecko zabawką edukacyjną potrafią tylko ci rodzice, którzy sami rozumieją o co w niej chodzi. Błędne koło!

Basia: No to zajrzyj wyżej i zobacz jaki współczynnik kierunkowy ma prosta prostopadła do prostej y=ax+b. Napisałam to. Jeżeli sam chcesz się nauczyć matematyki to nie należysz do tych 30%. Ci z 30% bronią się przed tym wszelkimi siłami i sposobami.

Basia: I napisz jaki współczynnik kierunkowy będzie miała prosta prostopadła do CD. Idę zaparzyć herbatę. Za chwilę wrócę.

member : proszę Pani Basi =) proszę się nie zagotować w sobie jeżeli zapytam czy ta prosta prostopadła y= − ¹_a x + c wzięła się z zależności a1*a2=−1 ? i po przekształceniu dała a2=−¹_a1 ?

member : nawiasem, jutro pucujesz rowerek a ja wybieram się do magicznego miasta pt: Krk . Czy Ty jesteś nauczycielką ? widziałem że świetnie radzisz sobie z log.

Basia: Ad2. Nie jestem nauczycielką, ale jestem matematykiem. Ad1. Oczywiście, że tak.

member : y= − ¹₂ x + 8 ?

tim: Basia, ja też <żółw>

member : no tak, bez urazy ale matematycy właśnie piszą Ad−notacje,

tim: No wiem, żart

Basia:

	1
Dlaczego −		?
	2

	3		3
pr.CD: y=		x +4 a=
	2		2

	1		1		2
a1 = −		= −		= −
	a		32		3

	2
pr.AD y=−		+ c1
	3

	2
pr.BC y=−		+ c2
	3

jak wyznaczyć c₁ i c₁ ?

Basia: i c₂ oczywiście !

Basia: Dlaczego żółw Tim ?

tim: <żółwik>

Basia: Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ! Łapię !

tim: Nie znasz?

Basia: Żółwika znam !

tim: No

member : w pr AD podstawić za y wartość −3 ? a w pr BC podstawić za y 6 ? ( to y podane w danych w zadaniu) ?

Basia: AD: tak za y −3, a za x? BC: tak za y 6, a za x?

Basia: A∈pr.AD ⇒ jego współrzędne muszą spełniać równanie pr.AD B∈pr.BC ⇒ jego współrzędne muszą spełniać równanie pr.BC

member : AD... y= − ²₃ + c1 −−−> −3= − ²₃*4 + c1 −−−> −3= −⁸₃ + c1 −−−> − ⁵₃= c1 ?

Basia: Oj tym razem to mój błąd.

	2
pr.AD y = −		x + c1
	3

	2
pr.BC y =−		x + c2
	3

	2
−3 = −		*4 + c1 /*3
	3

−9 = −8 + 3c₁ 3c₁ = −1

	1
c1 = −
	3

	2		1
pr.AD y= −		x −
	3		3

3y = −2x − 1 2x + 3y = −11

	2
6 = −		*10 + c2 /*3
	3

18 = −20 + 3c₂ 38 = 3c ₂

	38
c2 =
	3

	2		38
pr.BC y= −		x +
	3		3

3y = −2x + 38 2x + 3y = 38 Teraz trzeba wyznaczyć współrzędne C i D. Wiesz jak to zrobić ?

Basia:

	8		9		8		1
U Ciebie c1=−3+		= −		+		= −
	3		3		3		3

skąd 5/3 ? −3 i 8/3 trzeba sprowadzić do wspólnego mianownika

member : , Basia , proszę, ja to nie Ty. Nie potrafię się już skupić, dodatkowo tylko liczę jak baran to co mi podsuniesz, muszę to uporządkować, przeanalizować i zrozumieć. Czy mógłbym prosić Cie o pomoc w tym zadaniu w dalszych podpunktach w poniedziałek ?

member : tak, pomyliłem się

Basia: Nie wiem czy będę na forum w poniedziałek. Jeśli tak to oczywiście. Jeśli nie inni pomogą. Tylko wtedy napisz nowy post i napisz co już masz obliczone, bo w tym komuś kto nie śledził wpisów na bieżąco trudno będzie się połapać.

member : dobrze, nagłówek będzie brzmiał Basia Basia Basia Basia Basia Basia Basia Basia tak abyś znalazła to

Basia: O.K. Miłego wypoczynku w mieście zaczarowanych dorożek i innych magicznych cudów.

member : zaczarowane z powodu tego że dużo osób " zaczyna w nich " bardziej stały związek ? czy tylko dlatego że są piękne w pięknym miejscu ?

Bogdan: Nie chciałem przeszkadzać, teraz zaproponuję następujące rozwiązanie tego zadania. a) Odpowiedź już jest podana w treści zadania. Prosta zawierająca wierzchołki C i D to 3x − 2y + 8 = 0 w postaci ogólnej względnie y = ³₂x + 4 w postaci kierunkowej. b) D = (x_D, y_D) = (x_D, ³₂x_D + 4) Wyznaczamy długość boku AD mając A(4, −3) oraz równanie prostej zawierającej punkt D: 3x − 2y + 8 = 0

	|3*4 −2*(−3) + 8|
|AD| =		= 2√13 = √52
	√9 + 4

a także |AD|² = (x_D − 4)² + (y_D + 3)² = (x_D − 4)² + (³₂x_D + 7)² x_D² − 8x_D + 16 + ⁹₄x_D² + 21x + 49 = 52 x_D² + 4x_D + 4 = 0 to (x_D + 2)² = 0 to x_D = −2 oraz y_D = ³₂*(−2) + 4 = 1 D = (−2, 1) c) pole prostokąta P = |AB| * |AD| |AB| = √(10 − 4)² + (6 + 3)² = √117 = 3√13 |AD| = 2√13 P = 3√13 * 2√13 = 6 * 13 = 78

member : Bogdan dziękuję za pomoc

member : ale czy nie da się pkt b wyliczyć prościej ? tak bardziej po chłopsku ?

Bogdan: Sądzę, że tak jest dość prosto, nawet dla chłopskiego rozumu

Eta:

member : Bogdan, wszystko rozumię oprócz tego, nie potrafię doprowadzić do tej postaci, xD2 + 4xD + 4 = 0 to (xD + 2)2 = 0 , pogrupowałem wyrazy podobne i wyszły mi jakieś trzynastki przy x tak poza tym można sie szybko pogubić w takim zadaniu, myślałem ze jestem w stanie sprostać temu, jednak po twojej odpowiedzi nie ruszyłbym tego

Bogdan: Dzień dobry. Zaczynamy od początku. Prosta k: 3x − 2y + 8 = 0 przechodzi przez punkty C = (x_C, y_C) i D = (X_D, y_D). Mamy wyznaczyć współrzędne punktu D. Wstawiamy x_D do równania prostej k, aby otrzymać zapis y_D. 3x_D − 2y + 8 = 0 3x_D + 8 = 2y_D dzielimy obustronnie przez 2 y_D = ³₂x_D + 4 Teraz obliczamy długość AD korzystając z wzoru na odległość d punktu (x_o, y_o)

	|A*xo + B*yo + C|
od prostej Ax + By + C = 0: d =
	√A2 + B2

U nas mamy punkt A = (4, −3) oraz prostą k: 3x − 2y + 8 = 0 (A = 3, B = −2, C = 8)

	|3*4 + (−2)*(−3) + 8|		26
d = |AD| =		=		= 2√13 = √52
	√9 + 4		√13

d² = 52 Jeszcze raz obliczamy długość AD, ale w inny sposób, korzystamy z wzoru na odległość d między dwoma punktami (x₁, y₁) i (x₂, y₂): d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² i potem d = √d² U nas mamy A(4, −3) oraz D(x_D, ³₂x_D + 4) d² = |AD|² = (x_D − 4)² + (³₂x_D + 4 − (−3) )² = = (x_D − 4)² + (³₂x_D + 7)² Porównujemy ze sobą otrzymane wyniki na długość AD: (x_D − 4)² + (³₂x_D + 7)² = 52 Stosując wzory skróconego mnożenia obliczamy z ostatniego równania x_D, otrzymamy x_D = −2, następnie obliczamy y_D: y_D = ³₂*(−2) + 4 = 1. Odp.: D = (−2, 1). To są proste przekształcenia i przećwicz je jeszcze raz sam, po chwili uznasz to zadanie za niezbyt trudne. Zastosowaliśmy tu dwa wzory: na odległość między punktem i prostą oraz na odległość miedzy dwoma punktami. Postaraj się te dwa wzory zapamiętać, jeszcze nie raz przydadzą Ci się. Pozdrawiam

member : Bogdan, dziękuje za szeroki opis tego ale skupmy się dokładnie na tym: 52= xd²−8xd+16+⁹₄xd²+21xd+49 mi po pogrupowaniu wyrazów wychodzi :

13
	xd2+13xd−13 a nie jak Tobie xd2+4xd+4=0 co robię źle ?
4

Bogdan: (x_D − 4)² + (³₂x_D + 7)² = 52 x_D² − 8x_D + 16 + ⁹₄x_D² + 21x_D + 49 − 52 = 0 2 * ³₂x_D * 7 = 21x_D 16 + 49 − 52 = 16 − 3 = 13 ¹³₄x_D² + 13x_D + 13 = 0 mnożymy obustronnie przez ⁴₁₃ x_D² + 4x_D + 4 = 0 teraz zwijamy wzorem skróconego mnożenia (x_D + 2)² = 0 stąd x_D = −2

member : Witaj Boguś. O to mi chodziło. całe zadanie zrobiłem ze zrozumieniem Dzięki za włożony Twój trud.

member : Zapomniałem dodać, również Basi trud

Bogdan: